具有权重的Karger算法

Question

  

假定给定一个无向，无权的图G =（V，E），并且有一些成本函数c：E→R> 0将正成本c（e）分配给每个边e∈E。目标是计算最小成本G的最小割线（即，由最少数量的边组成的割线中的最小割线）。给出一种算法，该算法极有可能在多项式时间内找到这样的最小成本最小割。您的算法的运行时间是多少？   提示：Karger算法

方法I： 将Karger做n次c次（仍然是多项式，在c中的n次上提高指数），然后比较所得的最小割。与c> = 1

方法二： 当Karger处于收缩状态时，提高举重的可能性。不影响运行时间

还是两者的结合？

Answer 1

方法我似乎没有在Karger的算法中添加任何内容。摘自the introduction to this article：“通过对该基本算法进行足够的迭代，可以极有可能找到一个最小的分割。” 换句话说，方法I已经是该算法的一部分。

方法II从技术上讲是不必要的（无论如何，Karger的算法最终仍将找到最小割口），并且可能会严重损害该算法。例如，考虑可以通过删除一个特定边来进行切割的图形，但否则需要两个或多个边进行切割（数字代表边的成本）：

如果该特定边缘的成本最高（在此示例中为999），则提高选择该边缘进行收缩的可能性降低，找到（最低成本）最小切割的概率。实际上，它降低了找到（任何成本）最低切割的可能性。

因此，您所需要做的就是运行标准算法。在每次迭代中，您需要检查新发现的切割是否具有比当前最佳切割更少的边。如果是这样，则新发现的切割是迄今为止的最佳切割。如果新发现的切割的边数与当前最佳切割的边数相同，则比较成本以查看哪个更好。