Question

我有这个Agda程序：

data ℕ⁺ : ℕ → Set where
  one : ℕ⁺ (suc zero)
  suc⁺ : {n : ℕ} → ℕ⁺ (suc n)

lemma : ∀ (m n : ℕ) → m ≡ suc n → ℕ⁺ m
lemma m zero p = one
lemma m (suc n) p  = suc⁺ {suc n}

问题出在倒数第二行：它抱怨one不是ℕ⁺ m，但是我在那里有p证明它们确实存在。

我该怎么做？如果我想证明实际上是相等的，我知道该怎么做（在这种情况下，只需传递p即可），但是我不知道如何使用p来转换通用{ {1}}至ℕ⁺ m。

Answer 1

相等类型_≡_在Agda中没有特殊含义。对于Agda one来说，它看起来像类型ℕ⁺ (suc zero)的值，它需要ℕ⁺ m。 transport应该有帮助。

transport : forall {A : Set} {B : A → Set} {x y : A} → x ≡ y → B x → B y
transport refl bx = bx

comm : forall {A : Set} {x y : A} → x ≡ y → y ≡ x
comm {x = x} p = transport {B = _≡ x} p refl

lemma : ∀ (m n : ℕ) → m ≡ suc n → ℕ⁺ m
lemma _ _ p  = transport {B = \k → ℕ⁺ k} (comm p) suc⁺

（这里我删除了one，因为它是不需要的。）

Answer 2

如果您在p上进行模式匹配，则会将m细化为.(suc n)：

lemma : ∀ (m n : ℕ) → m ≡ suc n → ℕ⁺ m
lemma .(suc n) zero    refl = one
lemma .(suc n) (suc n) refl = suc⁺

（免责声明：这是从非HoTT / CTT的角度来看；没有axiom K，这可能无法工作。）

如何转换结果？

2 个答案: