Question

我目前正在了解Big O Notation的运行时间和摊销时间。

我有以下问题：

基于分而治之原理的两种算法可用于解决复杂性n的问题。算法1将问题分为18个小问题，并且需要O（n ^ 2）个运算才能将子解决方案组合在一起。算法2将问题分为64个小问题，并且需要O（n）运算才能将子解决方案组合在一起。

哪种算法更好和更快（对于大n）？

我猜想第二个算法更好，因为它需要更少的时间（O（n）比O（n ^ 2）更快）。我猜对了吗？

小问题的数量是否会影响算法的速度，还是总是需要固定的时间？

Answer 1

在这种情况下，它可能不打算成为陷阱，但是请务必小心，并且可能会发生一些违反直觉的事情。陷阱（如果发生的话）主要是这样的：与产生了多少子问题相比，子问题要小得多？

例如，对于算法1而言，如果子问题是当前问题的大小的1/5或更小（也许它们意味着它们将是当前大小的1/18？），那么对时间复杂度以O（n²）为单位。但是，如果问题的大小仅减少4倍，那么我们已经达到O（n ^2.085），并且如果域仅被切成一半（但仍然是18倍）然后一直到O（n ^4.17）。

与算法2相似，请确保是否将程序切成64个子问题，每个子问题的大小是大小的1/64，则总时间复杂度将为O（n log n）。但是，如果子问题甚至更大，例如大小的1/63，我们立即将层次结构的整个步骤上移至O（n ^1.004）-指数中的一个小常数仍然，但不再是对数线性的。使问题的大小变成原来的1/8，复杂度变成二次方，如果我们在每一步中仅将问题大小减半，就一直到O（n ⁶）！另一方面，如果问题只缩小了 little 一点，即缩小了大小的1/65，那么复杂度立即又不再是对数线性的，但是这次又朝另一个方向发展，变为O（n）。

所以它可以采用任何一种方式，具体取决于子问题的缩小速度，问题陈述中未明确提及。希望很明显，仅仅比较“每个步骤的附加处理”是不够的，总的来说还是不够的。每步处理很多是无法克服的缺点，但如果“收缩因子”比“扇出因子”小，则每步处理很少的优点很容易丢失。 >

Answer 2

Master theorem用于分治法的渐近分析，它将为您提供直接获得答案而不是猜测的方法。

T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中T是主要问题，n是输入集合，a是您划分为子问题的数量，b是每个子问题输入集合减少的因数，f（n）是函数将子问题分解和组合在一起。从这里我们找到c：

f(n) is O(n^c)

例如，在示例算法1中，c = 2，在算法2中，c =1。对于算法1和2，值a分别为18和64。下一部分是您的问题缺少适当信息的地方，因为未提供b。 换句话说，要获得清晰的答案，您需要知道每个子问题划分原始输入的因素。

if c < logb(a) then T(n) is O(n^logb(a))
if c = logb(a) then T(n) is O(n^c log(n))
if c > logb(a) then T(n) is O(f(n))

比较算法的复杂度

2 个答案: