如何证明Coq中的“类型<>集”（即类型不等于集）？

Question

Coq中Type和Set之间是否存在相等或不平等关系？

我正在学习Coq的类型系统，并且了解Set的类型为Type@{Set+1}，并且Type@{k}的类型为Type@{k+1}。我试图证明Type = Set，然后试图证明Type <> Set，但是在两种情况下都失败了。

我从

开始

Lemma set_is_type :  Type = Set.
Proof.
reflexivity.

给出一条错误消息，指出无法将“ Set”与“ Type@{Top.74}”统一。

然后我尝试了

Lemma set_is_not_type : Type <> Set.
Proof.
intros contra.

目前我不知道如何进行。策略discriminate无效，inversion contra也无效。

可以证明上述两个引理中的哪一个？

Answer 1

这实际上不是一个完全琐碎的定理。为了证明Type = Set导致了悖论（因此有必要单独设置Type的水平），您需要使用类似于集合论中Russell悖论的标准结果。具体来说，您将需要Codepen-Link，这实际上意味着较小的Type与较大的Type不能并存（请记住Type在Coq中是多态的，尤其是Set是最低级别（如果包含Prop，则是第二最低级别）。

我们想要的特定定理可以在标准库中找到。

Require Logic.Hurkens.
Import Logic.Hurkens.TypeNeqSmallType.

Check paradox.

paradox具有类型签名forall A : Type, Type = A -> False。由于Set: Type（至少在Type足够大的情况下），这就是我们要证明的东西。

Lemma set_is_not_type: Type <> Set.
Proof.
  intro F.
  exact (paradox _ F).
Defined.

在此引理中，Coq自动对Type设置限制，以确保Set: Type。

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另一方面，Set等于Type的 some 水平，因此我们应该能够证明Type = Set在Type。我发现最简单的方法是证明Type = Type，然后用Set实例化该定理。正如您所发现的那样，无论出于什么原因，自反性本身都不能强加宇宙约束。为此，我们需要使两个引理Universe都具有多态性，以便可以使用特定的Universe级别对其进行实例化。

Polymorphic Lemma type_is_type: Type = Type.
Proof.
  reflexivity.
Defined.

Polymorphic Lemma type_is_set: Type = Set.
Proof.
  apply type_is_type.
Defined.

使所有事物都具有多态性的更简单方法是将Set Universe Polymorphism.放在所有事物之前。