连接断开图的组件的最低成本？

Question

我们首先通过邻接矩阵得到一个完全连通的图。然后，删除一些边缘，以使该图断开连接，并且我们现在具有此断开连接图的多个组件。连接所有组件所需的最低成本是多少？

Answer 1

让G = (V, E_1 ∪ E_2)为原始（加权，完全连接）图，并G' = (V, E_1)为通过删除集合E_2中的边而获得的图。

考虑图G''，该图是通过收缩G'的连接分量而获得的（即，每个连接分量变成一个顶点），其中G''的两个顶点是相邻的，如果且仅当G'中相应的已连接组件通过E_2中的边进行连接时。本质上，这意味着G''的边缘是集合E_2中的边缘（从原始图形中删除的边缘）。

观察到，当且仅当这些边连接了E_2的所有顶点时，才能将G'的边的子集添加到G'才能恢复G''的（完全）连通性。最便宜的方法是在G''上选择一个最小成本的生成树（相对于边缘的权重）。从您的评论中，我假设您知道什么是最小生成树以及如何计算它。

单句摘要： 可以通过计算图上的最小（成本）生成树来找到恢复连接所需的最小成本的边集，该树是通过将每个连接的组件收缩到单个顶点而获得的，并且包含作为其边集，即从原始图形中删除的边缘。