Question

发现Lexicographically minimal string rotation是一个众所周知的问题，让·皮埃尔·杜瓦尔（Jean Pierre Duval）于1983年提出了一个linear time algorithm。博客This可能是唯一公开谈论的资源。详细的算法。但是，Duval的算法基于成对比较（“ duels”）的概念，并且博客方便地使用偶数长度的字符串作为示例。

该算法如何处理奇数长度的字符串，而最后一个字符将没有与之竞争的对决？

Answer 1

一个人物可以赢得“ bye”，而无需参加“决斗”就可以获胜。算法的正确性不依赖于您执行的特定对决。给定 any 两个不同的索引 i 和 j ，您始终可以得出结论，其中之一是字典最小的起始索引旋转（除非都是是词典最小旋转的相同的起始索引，在这种情况下，您拒绝哪个旋转都没有关系）。按特定顺序执行决斗的原因是性能：通过确保一半的决斗只需要比较一个字符，其余的一半只需要比较两个字符来获得渐近线性时间，依此类推，直到最后一次决斗只需要比较字符串长度的一半即可。但是，这里和那里的单个奇数字符并没有改变渐近复杂性，它只是使数学（和实现）更加复杂。长度为2 ⁿ +1的字符串仍然需要比长度2 ^{n +1}更少的“决斗”

Answer 2

此处操作：我接受了ruakh的回答，因为它与我的问题有关，但我想为可能会偶然发现这篇文章的其他人提供自己的解释，以了解Duval的算法。

问题：

从字法上讲，最小圆形子串是查找的问题具有最低词典顺序的字符串的旋转所有这些旋转。例如，字典上最小的旋转“ bbaaccaadd”将是“ aaccaaddbb”。

解决方案：

Jean Pierre Duval（1983）提出了一种O（n）时间算法。

给定两个索引i和j，Duval的算法比较了从j - i和i开始的长度为j的字符串段（称为”决斗” ）。如果index + j - i大于字符串的长度，则该段通过环绕而形成。

例如，考虑s =“ baabbaba”，i = 5，j =7。由于j-i = 2，所以从i = 5开始的第一段是“ ab”。从j = 7开始的第二个段是通过环绕而构建的，并且也是“ ab”。如果字符串在字典上是相等的，例如上面的示例，我们选择从i开始的那一个作为获胜者，即i = 5。

重复上述过程，直到我们有一个获胜者。如果输入字符串的长度为奇数，则在第一个迭代中无需比较就可以赢得最后一个字符。

时间复杂度：

第一次迭代比较长度为1的n个字符串（n / 2个比较），第二次迭代可以比较长度为2的n / 2个字符串（n / 2个比较），依此类推，直到第i次迭代比较2个长度为n / 2的字符串（n / 2个比较）。由于每次获胜者的数量减半，因此递归树的高度为log（n），因此我们得到了O（n log（n））算法。对于小n，大约为O（n）。

空间复杂度也是O（n），因为在第一次迭代中，我们必须存储n / 2个获胜者，第二次迭代中要存储n / 4个获胜者，依此类推。（维基百科声称此算法使用恒定空间，我不知道如何使用。）

这是一个Scala实现；随时转换为您喜欢的编程语言。

def lexicographicallyMinRotation(s: String): String = {
 @tailrec
 def duel(winners: Seq[Int]): String = {
   if (winners.size == 1) s"${s.slice(winners.head, s.length)}${s.take(winners.head)}"
   else {
     val newWinners: Seq[Int] = winners
       .sliding(2, 2)
       .map {
         case Seq(x, y) =>
           val range = y - x
           Seq(x, y)
             .map { i =>
               val segment = if (s.isDefinedAt(i + range - 1)) s.slice(i, i + range)
               else s"${s.slice(i, s.length)}${s.take(s.length - i)}"
               (i, segment)
             }
             .reduce((a, b) => if (a._2 <= b._2) a else b)
             ._1
         case xs => xs.head
       }
       .toSeq
     duel(newWinners)
   }
 }

 duel(s.indices)
}

杜瓦尔（Duval）的算法如何处理奇数长度的字符串？

2 个答案: