使用numpy将3d点转换为新坐标系的功能

Question

我在空间上有n个点： points.shape == (n,3)

我有一个新的坐标系，该坐标系由点O = [ox, oy, oz]和3个不同长度的正交向量Ox = [oxx, oxy, oxz], Oy = [oyx, oyy, oyz], Oz = [ozx, ozy, ozz]定义。

如何编写这样的函数？

def change_coord_system(points, O, Ox, Oy, Oz)
    return # points in new coordinate system

Answer 1

您在原始系统中有4个非共面点（lx是第一个向量的长度，依此类推）：

(0,0,0), (lx,0,0), (0,ly,0), (0,0,lz)

和他们的双胞胎在新系统中

 [ox, oy, oz]
 [oxx + ox, oxy + oy, oxz + oz]
 [oyx + ox, oyy + oy, oyz + oz]
 [ozx + ox, ozy + oy, ozz + oz]

仿射变换矩阵A应该将初始点变换为对点

   A * P = P' 

使用点列向量制作矩阵：

      |x1  x2  x3  x4|    |x1' x2' x3' x4'|
   A *|y1  y2  y3  y4| =  |y1' y2' y3' y4'|  
      |z1  z2  z3  z4|    |z1' z2' z3' z4'|
      |1   1   1    1|    |1   1    1    1|

      |0  lx  0  0|    |ox oxx + ox . .|
   A *|0  0  ly  0| =  |oy oxy + oy . .| // lazy to make last columns  
      |0  0  0  lz|    |oz oxz + oz . .|
      |1  1  1   1|    |1   1    1    1|

要计算A，需要将两个母数乘以P矩阵的逆数

A * P * P-1 = P' * Pinverse
A * E = P' * Pinverse
A = P' * Pinverse

因此，计算P的逆矩阵并将其与右侧矩阵相乘。

编辑：由Maple计算的逆矩阵为

 [[-1/lx, -1/ly, -1/lz, 1], 
  [1/lx, 0, 0, 0], 
  [0, 1/ly, 0, 0], 
  [0, 0, 1/lz, 0]]

得到的仿射变换矩阵为

[[-ox/lx+(oxx+ox)/lx, -ox/ly+(oyx+ox)/ly, -ox/lz+(ozx+ox)/lz, ox],
 [-oy/lx+(oxy+oy)/lx, -oy/ly+(oyy+oy)/ly, -oy/lz+(ozy+oy)/lz, oy], 
 [-oz/lx+(oxz+oz)/lx, -oz/ly+(oyz+oz)/ly, -oz/lz+(ozz+oz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

Maple sheet view for reference

修改：
刚刚注意到：Maple没有删除过多的求幂，所以结果应该更简单：

[[(oxx)/lx, (oyx)/ly, (ozx)/lz, ox],
 [(oxy)/lx, (oyy)/ly, (ozy)/lz, oy], 
 [(oxz)/lx, (oyz)/ly, (ozz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

Answer 2

假设我们有两个点，mapIndexed和P=[2, 4, 5]。首先，您必须找到用于旋转变换的矩阵 A 和用于运输的矩阵 B ，并应用以下方程式

使用numpy的代码是

Q=[7, 2, 5]

我认为上述功能给出了新的要点。您可以检查一下。当然，您可以使用numpy执行矩阵乘法，尽管您需要重塑np.arrays。