如何对多元高斯PDF进行矢量化/矩阵化以提高计算效率？

Question

上下文：我最近正在为高斯混合模型实现期望最大化（EM）算法，并且该过程的一部分涉及为具有各种参数的各个点x_i计算高斯PDF。我天真地实现了它，足够快达到我需要的速度，但是我觉得如果以一种很好的，干净的矩阵形式编写它，可以更快地进行计算。但是，我不知道您将如何以所需的形式获取它。

我需要的多元高斯PDF格式为：

p_k（x_i | _k，_k）= exp（-1/2（x_i-_k）^ T _k ^ -1（x_i-_k））/ [（2）^（d / 2）| _k | ^ （1/2）]

符号：

• x_i是输入数据的d维向量，其中1≤i≤N（N是 数据点总数）
• k∈{1,2，...，K}是另一个参数，我必须针对每个k值计算p（x_i）
• _k是数据的d维均值集
• _k是数据的dxd协方差矩阵

（很抱歉，很难阅读。）

我的主要困惑点：

• 我在上面键入的方程式给出了单个i和单个k的标量概率。
• 我需要针对所有i，k进行计算，因此最终我需要一个NxK值矩阵。
• 指数部分的主要部分（x_i-_k）T _k-1（x_i-_k）有效地取一个1xd向量，乘以dxd矩阵，然后再乘以dx1向量。如果只有一个数据点，则得到1x1标量，但是如果有多个数据点，就不会得到NxN矩阵吗？

有人可以帮我找出一种更优雅的方式写这篇文章吗？再说一遍，我最终想要得到的是一个单线来获得一个NxK矩阵，我认为您可以这样写：p（X |，）其中X是一个Nxd矩阵，是一个kxd矩阵，并且是一个kxdxd矩阵。