动态编程问题，可在创建非递减数组时最大程度地降低成本

Question

我已经解决了一段时间这个问题，无法想到使用动态编程来解决此问题的有效方法。

我正在创建的算法被赋予一个整数数组{y_1 ... y_n}和一个参数M，并且必须返回一个不递减的整数数组{x_1 ... x_n}，其中没有更大的值在两个数组中小于M或小于0。必须这样做以最小化总和（{X_i-Y_i} ^ 2）。

如您所见，这不是一个可以贪婪解决的简单问题。解决方案必须在O（nM）时间内。

Answer 1

我们填写表Cost(i, j)，其中i in {1, ..., n}和j in {0, ..., M}。 Cost(i, j)的解释是，它是子问题y_1, ..., y_i的最低成本，限制为j，其中x_i = j（某些y值可能更大而不是j，但仍然可以很好地定义问题）。我们对所有i in {2, ..., n}和所有j in {0, ..., M}都有一个重复发生，

                      2
Cost(1, j) = |j - y_i|
                                             2
Cost(i, j) =   min   Cost(i-1, k) + |j - y_i|
             0<=k<=j

天真的，这是M太慢的原因。但是，如果我们以正确的顺序评估Cost，则可以用之前的分钟和Cost(i-1, j)的分钟替换该分钟，并获得所需的运行时间O(n M)。