Question

我正在尝试在Maple中评估此功能

但是我一直得到这个答案，为什么枫没有正确集成。我尝试对其进行数值积分，并且可以工作，但我也需要解析解决方案。

Answer 1

restart;

sig := x->(exp((x-t)/a)-exp((-x-t)/a))
          /(exp((x-t)/a)+exp((-x-t)/a)):

new := convert(simplify(convert(expand(sig(x)),trigh)),tanh);

                     new := tanh(x/a)

simplify(expand(convert(sig(x) - new, exp)));

                           0

现在，您最初写了int(f*sig(x)/x,x)。

您并没有指出f是x的函数，并且作为一个常数并不重要，可以简单地将其作为一个常数因素放在积分前面。如果f是x的某个功能，那么您真的需要说明它是什么！

让我们考虑int(sig(x)/x,x=c..d)。使用简化new，即

Q := Int( new/x, x=c..d );

      Q := Int(tanh(x/a)/x, x = c .. d)

QQ := IntegrationTools:-Change(Q, y=x/a, y);

     QQ := Int(tanh(y)/y, y = c/a .. d/a)

您说过，您想要一个“分析解决方案”，我认为这是为符号积分结果指定一个明确的公式。但是，如果积分（在数学上）没有闭合形式的精确符号结果，您想要什么？

您是否会满足于（精确的，符号的）级数逼近？

H := (a,ord,c,d)
     -> int(convert(series(eval(new/x,:-a=a),x,ord),
                    polynom),x=c..d):

# order 5
H(a, 5, c, d);

                      3    3     /  5    5\
            d - c   -c  + d    2 \-c  + d /
            ----- - -------- + ------------
              a          3            5    
                      9 a         75 a

对于一个特定的示例，采用a=2和阶数为25的（精确）级数近似，则将从x=0到x=1的积分评估为精确有理数。

evalf(H(2, 25, 0, 1));

                      0.4868885956

这是这些值的数字积分，

evalf(Int( eval(new/x,a=2), x=0..1 ));

                      0.4868885956

特殊的数字正交可以与多种应用的级数逼近一样好，但是当然这取决于您打算对结果做些什么。

这引发了一个问题：您希望如何处理某些假定的“分析结果”，而黑箱函数无法生成浮点数值近似值，那么您应该如何做呢？为什么您“需要”“分析结果”？

顺便说一句，另一种简化它的方式（如果new的上述构造在您的Maple版本中不成功）：

new := convert(simplify(expand( numer(sig(x))/exp(-t/a) ))
               /simplify(expand( denom(sig(x))/exp(-t/a) )),
               compose,trigh,tanh);

                                /x\
                     new := tanh|-|
                                \a/

枫树中的超极函数集成

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