模拟3D空间中的简单三边测量算法

Question

上下文：我正在为Minecraft mod OpenComputers添加的移动计算机实现导航系统。对于那些不熟悉该模块的人，它基本上增加了各种Lua可编程的，可升级的计算机，包括移动计算机，即机器人，无人机和平板电脑。尝试对机器人和无人机进行编程以执行自主任务时，经常会遇到的众多挑战之一就是确保他们始终知道自己的坐标。

最简单的解决方案是使用导航升级，它确实做到了-为计算机提供相对于其制作的地图中心的精确坐标。但是，它有两个主要缺点-占用了Tier II升级空间，这并不是一件小事，并且仅限于地图区域。后者或多或少是可以接受的，但是在某些使用情况下仍然无法使用此导航方法。

另一种解决方案是让计算机一次记住其坐标，然后跟踪其运动，但这也有许多潜在的警告-您必须通过自定义子例程控制所有运动，或者使用黑客来拦截组件调用，您每次必须手动输入坐标就无法移动计算机，无人驾驶飞机会出现一些精度错误，这对于平板电脑根本不起作用。

第三种方法-我正在研究的方法-与现实生活中的GPS类似。它基于这样一个事实，即计算机可以通过无线网卡进行升级，从而能够在400块的相当大的距离内相互发送消息，并且它们与消息本身一起可以接收到精确的距离（浮点数，以块为单位） ）在发送方和接收方之间。如果我们将某些固定计算机指定为不断广播其位置的“卫星”，那么我们就可以使移动计算机能够使用来自4颗以上卫星的信息来确定其确切位置。

这种方法是可扩展的（您可以继续向网络添加更多卫星以扩大其覆盖范围），而不会仅出于导航目的而占用额外的升级插槽（因为许多移动计算机已经使用无线网卡进行了升级），并且精确，这比其他两种方法有明显的优势。但是，它需要进行一些令人惊讶的复杂计算，这就是我遇到的问题。

问题：我需要找到一种三边测量算法（理想情况下附带一个代码示例），该算法将允许任何移动计算机计算其位置（在大约0.25块的误差范围内），并且知道指定“卫星”的坐标及其到它们的距离。我们假设所有计算机和卫星都配备了Tier II无线网卡（即它们可以在400个块的总范围内相互发送消息，并且知道发件人与自身之间的距离，并且具有float32数字所允许的精度）。该解决方案将使用纯Lua进行编码，而无需访问任何第三方服务，因此Mathematica之类的数据包是不行的。目前，我在押注某种合适的拟合方法，尽管我不知道如何实现，以及如何适应范围内某些卫星广播错误位置的可能性。

在最基本的水平上，我们可以假设有4颗卫星，它们不断且正确地广播其位置，彼此之间的距离适中，并且不在单个2D平面上。算法理想情况下应具有一些可选条件，请参见下文。

奖励积分：

• 使算法足够小，以适合无人机的2KB内存（假设采用UTF8编码）。但是，它所占用的空间应该少得多，这样主程序也可以容纳。越小越好。
• 制定一种算法，使卫星彼此之间非常接近并且具有非整数坐标（以便用一个不断移动的机器人或无人机替换几颗固定卫星，或者使移动计算机本身随其移动从一颗卫星进行测量。
• 进行一种算法，假设已经确定了位置，那么该算法允许存在少于4颗卫星-例如，如果所讨论的移动计算机是机器人，并且除一个可能的位置以外的所有位置都在允许的高度以下或以上块的范围（y <0或y> 255）。如果将三颗卫星定位在y = 255的高度，则可以进行这种设置。
• 制定一种可以抵抗某些卫星广播的位置略有错误（设置中的轻微错误）的算法。假定存在足够正确的测量值，该算法应推断出正确的位置或断然抛出错误。理想情况下，它还可以记录“关闭”卫星的位置。
• 制定一种算法，该算法可抵抗同时出现的两组或更多组卫星正确广播其在不同坐标系中的位置（这是设置中的主要错误）。每个网络都有一个（假设是唯一的）标识符，该标识符可以区分由不同参与者（或者，仅仅是一个参与者）独立建立的不同网络。但是，如果他们不愿意正确设置标识符，则可能会混合使用不同的信号，从而使移动计算机感到困惑。因此，抗性算法应该能够检测到这种情况，并断然抛出错误或区分不同的网络（然后可以对其进行微调以适合特定应用的目的-即拒绝加载，选择最近的网络，选择最大的网络，提示用户或控制服务器等）。

我尝试过的事情：除了尝试自己解决问题外，我还尝试在互联网上寻找合适的解决方案。但是，我找不到适合自己的解决方案。

• 我通过谷歌搜索“三边测量算法”发现的大部分东西都用于处理现实中的GPS系统-也就是说，仅使用2个坐标，会严重考虑误差并且总体上不能提供足够的精度。
相反，有些纯粹是数学上的，建议建立一系列方程来找到球体的交点。不幸的是，就我的数学背景不佳而言，这种方法不能解决浮点数的精度误差-圆不完全相交，点不完全不相交在相同的位置，因此方程式没有解。
• 有些人似乎在解释解决方案，但是涉及到许多我不了解的复杂数学，并且没有包括确切的算法或至少一个代码示例。
• At least one使用了像Mathematica这样的外部数据包，在这种情况下同样不可用。

如果我不清楚一些要点，请发表评论，以便我改善问题。预先感谢！

Answer 1

这种三边测量系统已经为另一个名为ComputerCraft的模块开发。由于它可能与您的特定问题不兼容，因此您必须修改和调整其逻辑，但算法本身应该可以工作。

以下是源代码

CHANNEL_GPS = 65534

local function trilaterate( A, B, C )
    local a2b = B.vPosition - A.vPosition
    local a2c = C.vPosition - A.vPosition

    if math.abs( a2b:normalize():dot( a2c:normalize() ) ) > 0.999 then
        return nil
    end

    local d = a2b:length()
    local ex = a2b:normalize( )
    local i = ex:dot( a2c )
    local ey = (a2c - (ex * i)):normalize()
    local j = ey:dot( a2c )
    local ez = ex:cross( ey )

    local r1 = A.nDistance
    local r2 = B.nDistance
    local r3 = C.nDistance

    local x = (r1*r1 - r2*r2 + d*d) / (2*d)
    local y = (r1*r1 - r3*r3 - x*x + (x-i)*(x-i) + j*j) / (2*j)

    local result = A.vPosition + (ex * x) + (ey * y)

    local zSquared = r1*r1 - x*x - y*y
    if zSquared > 0 then
        local z = math.sqrt( zSquared )
        local result1 = result + (ez * z)
        local result2 = result - (ez * z)

        local rounded1, rounded2 = result1:round( 0.01 ), result2:round( 0.01 )
        if rounded1.x ~= rounded2.x or rounded1.y ~= rounded2.y or rounded1.z ~= rounded2.z then
            return rounded1, rounded2
        else
            return rounded1
        end
    end
    return result:round( 0.01 )
end

local function narrow( p1, p2, fix )
    local dist1 = math.abs( (p1 - fix.vPosition):length() - fix.nDistance )
    local dist2 = math.abs( (p2 - fix.vPosition):length() - fix.nDistance )

    if math.abs(dist1 - dist2) < 0.01 then
        return p1, p2
    elseif dist1 < dist2 then
        return p1:round( 0.01 )
    else
        return p2:round( 0.01 )
    end
end

function locate( _nTimeout, _bDebug )
    -- Let command computers use their magic fourth-wall-breaking special abilities
    if commands then
        return commands.getBlockPosition()
    end

    -- Find a modem
    local sModemSide = nil
    for n,sSide in ipairs( rs.getSides() ) do
        if peripheral.getType( sSide ) == "modem" and peripheral.call( sSide, "isWireless" ) then   
            sModemSide = sSide
            break
        end
    end

    if sModemSide == nil then
        if _bDebug then
            print( "No wireless modem attached" )
        end
        return nil
    end

    if _bDebug then
        print( "Finding position..." )
    end

    -- Open a channel
    local modem = peripheral.wrap( sModemSide )
    local bCloseChannel = false
    if not modem.isOpen( os.getComputerID() ) then
        modem.open( os.getComputerID() )
        bCloseChannel = true
    end

    -- Send a ping to listening GPS hosts
    modem.transmit( CHANNEL_GPS, os.getComputerID(), "PING" )

    -- Wait for the responses
    local tFixes = {}
    local pos1, pos2 = nil, nil
    local timeout = os.startTimer( _nTimeout or 2 )
    while true do
        local e, p1, p2, p3, p4, p5 = os.pullEvent()
        if e == "modem_message" then
            -- We received a reply from a modem
            local sSide, sChannel, sReplyChannel, tMessage, nDistance = p1, p2, p3, p4, p5
            if sSide == sModemSide and sChannel == os.getComputerID() and sReplyChannel == CHANNEL_GPS and nDistance then
                -- Received the correct message from the correct modem: use it to determine position
                if type(tMessage) == "table" and #tMessage == 3 then
                    local tFix = { vPosition = vector.new( tMessage[1], tMessage[2], tMessage[3] ), nDistance = nDistance }
                    if _bDebug then
                        print( tFix.nDistance.." metres from "..tostring( tFix.vPosition ) )
                    end
                    if tFix.nDistance == 0 then
                        pos1, pos2 = tFix.vPosition, nil
                    else
                        table.insert( tFixes, tFix )
                        if #tFixes >= 3 then
                            if not pos1 then
                                pos1, pos2 = trilaterate( tFixes[1], tFixes[2], tFixes[#tFixes] )
                            else
                                pos1, pos2 = narrow( pos1, pos2, tFixes[#tFixes] )
                            end
                        end
                    end
                    if pos1 and not pos2 then
                        break
                    end
                end
            end

        elseif e == "timer" then
            -- We received a timeout
            local timer = p1
            if timer == timeout then
                break
            end

        end 
    end

    -- Close the channel, if we opened one
    if bCloseChannel then
        modem.close( os.getComputerID() )
    end

    -- Return the response
    if pos1 and pos2 then
        if _bDebug then
            print( "Ambiguous position" )
            print( "Could be "..pos1.x..","..pos1.y..","..pos1.z.." or "..pos2.x..","..pos2.y..","..pos2.z )
        end
        return nil
    elseif pos1 then
        if _bDebug then
            print( "Position is "..pos1.x..","..pos1.y..","..pos1.z )
        end
        return pos1.x, pos1.y, pos1.z
    else
        if _bDebug then
            print( "Could not determine position" )
        end
        return nil
    end
end

询问您是否对源代码有任何特定疑问。

Answer 2

函数trilateration需要卫星列表（它们的坐标和与移动计算机的距离）以及移动计算机的先前坐标。
仅收集您自己小组的卫星，不包括其他所有小组的卫星。
您的某些卫星可能发送了错误的数据，没关系。

如果没有足够的卫星可访问，该函数将返回nil，因为它无法确定当前位置。
否则，该函数将返回移动计算机的当前坐标，并责怪卫星索引列表不正确。
如果有歧义，则将新位置选择为最接近移动计算机上一个位置的位置。
输出坐标为整数，Y坐标限制为0..255

为了适当的三边测量，应满足以下条件：

• （number_of_correct_satellites）必须为> = 3
• （如果至少有一颗不正确的卫星，（number_of_correct_satellites）个数字必须> = 4
• {number_of_correct_satellites）必须为>（number_of_incorrect_satellites）

识别不正确的卫星是昂贵的CPU操作。
一旦卫星被识别为不正确，请将其存储在黑名单中，并将其从以后的所有计算中排除。

do
   local floor, exp, max, min, abs, table_insert = math.floor, math.exp, math.max, math.min, math.abs, table.insert

   local function try_this_subset_of_sat(satellites, is_sat_incorrect, X, Y, Z)
      local last_max_err, max_err = math.huge
      for k = 1, math.huge do
         local oldX, oldY, oldZ = X, Y, Z
         local DX, DY, DZ = 0, 0, 0
         max_err = 0
         for j = 1, #satellites do
            if not is_sat_incorrect[j] then
               local sat = satellites[j]
               local dx, dy, dz = X - sat.x, Y - sat.y, Z - sat.z
               local d = (dx*dx + dy*dy + dz*dz)^0.5
               local err = sat.distance - d
               local e = exp(err+err)
               e = (e-1)/(e+1)/(d+1)
               DX = DX + dx*e
               DY = DY + dy*e
               DZ = DZ + dz*e
               max_err = max(max_err, abs(err))
            end
         end
         if k % 16 == 0 then
            if max_err >= last_max_err then
               break
            end
            last_max_err = max_err
         end
         local e = 1/(1+(DX*DX+DY*DY+DZ*DZ)^0.5/max_err)
         X = X + DX*e
         Y = max(0, min(255, Y + DY*e))
         Z = Z + DZ*e
         if abs(oldX - X) + abs(oldY - Y) + abs(oldZ - Z) <= 1e-4 then
            break
         end
      end
      return max_err, floor(X + 0.5), floor(Y + 0.5), floor(Z + 0.5)
   end

   local function init_set(is_sat_incorrect, len, ctr)
      for j = 1, len do
         is_sat_incorrect[j] = (j <= ctr)
      end
   end

   local function last_combination(is_sat_incorrect)
      local first = 1
      while not is_sat_incorrect[first] do
         first = first + 1
      end
      local last = first + 1
      while is_sat_incorrect[last] do
         last = last + 1
      end
      if is_sat_incorrect[last] == nil then
         return true
      end
      is_sat_incorrect[last] = true
      init_set(is_sat_incorrect, last - 1, last - first - 1)
   end

   function trilateration(list_of_satellites, previous_X, previous_Y, previous_Z)
      local N = #list_of_satellites
      if N >= 3 then
         local is_sat_incorrect = {}
         init_set(is_sat_incorrect, N, 0)
         local err, X, Y, Z = try_this_subset_of_sat(list_of_satellites, is_sat_incorrect, previous_X, previous_Y, previous_Z)
         local incorrect_sat_indices = {}
         if err < 0.1 then
            return X, Y, Z, incorrect_sat_indices
         end
         for incorrect_ctr = 1, min(floor((N - 1) / 2), N - 4) do
            init_set(is_sat_incorrect, N, incorrect_ctr)
            repeat
               err, X, Y, Z = try_this_subset_of_sat(list_of_satellites, is_sat_incorrect, previous_X, previous_Y, previous_Z)
               if err < 0.1 then
                  for j = 1, N do
                     if is_sat_incorrect[j] then
                        table_insert(incorrect_sat_indices, j)
                     end
                  end
                  return X, Y, Z, incorrect_sat_indices
               end
            until last_combination(is_sat_incorrect)
         end
      end
   end
end

用法示例：

-- assuming your mobile computer previous coordinates were 99 120 100
local previous_X, previous_Y, previous_Z = 99, 120, 100
-- assuming your mobile computer current coordinates are 111 112 113
local list_of_satellites = {
   {x=22, y=55, z=77, distance=((111-22)^2+(112-55)^2+(113-77)^2)^0.5},  -- correct satellite
   {x=35, y=99, z=42, distance=((111-35)^2+(112-99)^2+(113-42)^2)^0.5},  -- correct satellite
   {x=44, y=44, z=44, distance=((111-94)^2+(112-94)^2+(113-94)^2)^0.5},  -- incorrect satellite
   {x=10, y=88, z=70, distance=((111-10)^2+(112-88)^2+(113-70)^2)^0.5},  -- correct satellite
   {x=54, y=54, z=54, distance=((111-64)^2+(112-64)^2+(113-64)^2)^0.5},  -- incorrect satellite
   {x=91, y=33, z=15, distance=((111-91)^2+(112-33)^2+(113-15)^2)^0.5},  -- correct satellite
}

local X, Y, Z, list_of_incorrect_sat_indices = trilateration(list_of_satellites, previous_X, previous_Y, previous_Z)
if X then
   print(X, Y, Z)
   if #list_of_incorrect_sat_indices > 0 then
      print("Satellites at the following indices are incorrect: "..table.concat(list_of_incorrect_sat_indices, ","))
   end
else
   print"Not enough satellites"
end

输出：

111 112 113
Satellites at the following indices are incorrect: 3,5