Question

我开始学习如何在MatLab中进行编程，并且试图了解牛顿方法收敛的速度。我当前要绘制绝对误差| xn−x | xn的迭代，其中x = sqrt（10）是真正的解决方案。由于该方法确实收敛，所以误差应该为零，但是当我绘制它时，没有点出现。谁能帮我解决这个问题？

f = @(x) (x).^2 - 10;
f_deriv = @(x) 2*x;
x0 = 1;
x_true = sqrt(10);
x_save = (x0);

for jj = 1:20
    plot(jj,abs(x_save(jj)-x_true),'k.');
    x_new = x0 - f(x0)/f_deriv(x0);
    x_save(1+jj,1) = x_new;
    x0 = x_new;
end

xlim([0 20]);
ylim([0 2.5]);
xticks(0:20);
yticks(0:0.1:2.5);

Answer 1

您只需要hold on，以便将每个图都添加到之前的图。默认情况下，每个新图都替换前一个图。

此外，我将标记从'.'修改为'o'，以提高可见度。

您可能还想在每个drawnow之后加上pause（也许还有一个合适的plot），以便立即更新图形。如果您想查看标记“增长”所描绘的线，这将很有用。

f = @(x) (x).^2 - 10;
f_deriv = @(x) 2*x;
x0 = 1;
x_true = sqrt(10);
x_save = (x0);

hold on %%% New line
for jj = 1:20
    plot(jj,abs(x_save(jj)-x_true),'ko'); %%% Modified line
    x_new = x0 - f(x0)/f_deriv(x0);
    x_save(1+jj,1) = x_new;
    x0 = x_new;
end

xlim([0 20]);
ylim([0 2.5]);
xticks(0:20);
yticks(0:0.1:2.5);

Answer 2

正如您所说，牛顿方法部分按预期工作。问题出在您的绘图部分。

在您的实现中，您在for循环中每次迭代生成1个图。结果是20个图，每个图1个点，这不是您想要的结果。

下面是生成21个点的1个图的代码。

f = @(x) (x).^2 - 10;
f_deriv = @(x) 2*x;
x0 = 1;
x_true = sqrt(10);
x_save = (x0);

for jj = 1:20
    % Don't plot here. Wait until all data is collected.
    x_new = x0 - f(x0)/f_deriv(x0);
    x_save(1+jj,1) = x_new;
    x0 = x_new;
end

% Plot here. All data has been collected.
plot(0:20',abs(x_save-x_true),'kx');
xlim([0 20]);
ylim([0 2.5]);
xticks(0:20);
yticks(0:0.1:2.5);

编辑：使用semilogy而不是plot解决遗漏点的问题。

缺少点是因为semilogy计算值的对数。 log(0) = -Inf
机器精度导致非常小的数字被视为零。
浮点减法的精度与输入的大小成正比。减去两个大数会降低精度。

下面是更改坐标以避免两个大数相减的示例。

% Original problem parameters
x0 = 1;
x_true = sqrt(10);

% Change of co-ordinates
% u = x - sqrt(10);
% f(x) = g(u(x))
g = @(u) u^2 + 2*x_true*u;
g_deriv = @(u) 2*u + 2*x_true;
u0 = x0 - x_true;
u_save = u0;

for jj = 1:20
    u_new = u0 - g(u0)/g_deriv(u0);
    u_save = [u_save u_new];
    u0 = u_new;
end

semilogy(0:20, abs(u_save - 0), 'kx')
xlim([0 20]);

您会注意到，超过6次迭代的点仍然消失，因为误差仍然小于机器精度（〜1e-15）。但是，错误不会再增加。

如果要提高计算精度，则可能需要研究vpa函数。

https://www.mathworks.com/help/symbolic/increase-precision-of-numeric-calculations.html

如何绘制迭代方法的收敛速度？

2 个答案: