Question

在Matlab中，我有一个实且对称的n x n矩阵A，其中n>6000。即使A是正定的，它也接近奇异。对于已更改的特定变量，A从正定变为奇异到不确定。我要确定A何时变为单数。我不相信行列式，所以我正在查看特征值，但是我没有足够的内存（或时间）来计算所有n个特征值，而且我只对最小的特征感兴趣-特别是当它从从正到负。我尝试过

D = eigs(A,1,'smallestabs')

我失去了特征值的标志，而

D = eigs(A,1,'smallestreal')

Matlab无法获得最低的特征值来收敛。然后我尝试定义一个移位值，例如

for i = 1:10 
   if i == 1
      D(i) = eigs(A,1,0) 
   else
      D(i) = eigs(A,1,D(i-1))
   end
end

我在最后一个最低特征值的范围内看。但是，特征值的行为似乎很奇怪，而且我不确定我是否真的找到了真正的最低值。

因此，有关如何操作的任何想法

毫无疑问地找到带有“ eigs”的最小特征值，或者
通过另一种方法确定A何时变为奇数（更改A中的变量时）

非常感谢！

Answer 1

解决方案

我似乎已经解决了我的特殊问题。如果矩阵是正定的，则Matlabs命令chol可以返回值为p的零。因此，执行

[~,p] = chol(A)

在我的情况下，

确定从正定到非正定的过渡（意思是先奇异然后不确定），并且在计算上也非常有效。在chol的文档中，检查正定性也比eigs更为可取。但是，如果矩阵仅是正的半限定的，则结果可能会有些混乱，因此请小心。

替代解决方案

我想提出几种可能的解决方案：

行列式：对于正定矩阵，行列式为正。但是，对于不确定的矩阵，它可能为负-这可能表示过渡。但是，通常不建议使用大的近似奇异矩阵的行列式。

特征值：对于正定矩阵，所有特征值的实部均为正。如果至少一个特征值是零，则矩阵是奇异的；如果一个特征值是负的，而其余的是正的，则它是不确定的。检测最低特征值的符号偏移指示矩阵变为奇异点。在Matlab中，最低特征值可能是由

D = eigs(A,1,'smallestreal')

但是，在我的情况下，Matlab无法执行此操作。另外，您可以尝试在零附近搜索：

D = eigs(A,1,0)

但是，这只会找到最接近零的特征值。即使您像我上面的原始问题中所述那样进行循环，也不能保证实际找到最低的。而且在某些情况下，几乎是奇异矩阵的特征值的精度似乎很低。

条件编号：Matlabs cond通过执行以下操作返回矩阵的条件编号

C = cond(A)

表示最大特征值与最小特征值之比。条件编号中符号的偏移由此说明了转换。但是，这对我不起作用，因为即使我的特征值是负数，我也只能得到正数的条件数。但是也许在其他情况下也可以。

大的近似奇异矩阵的最小特征值

1 个答案:

解决方案

替代解决方案