Question

假设我有一个关于自然数的存在命题P

Definition P (n : nat) : Prop
:= exists k:nat, True.

还假设我已经证明了P的所有数字，

Lemma allP : forall n : nat, P n.
Proof.
  intros. exists 0. trivial.
Defined.

然后我为所有k有一个见证人n（在上一个示例中k始终为0），我想断言所有k的东西，例如

Definition allWitnessesBelowOne : Prop
  := forall n : nat,
    match allP n with
    | ex_intro _ k _ => k <= 1
    end.

除非无法编译，否则出现以下错误：

Incorrect elimination of "allP n" in the inductive type "ex":
the return type has sort "Type" while it should be "Prop".
Elimination of an inductive object of sort Prop
is not allowed on a predicate in sort Type
because proofs can be eliminated only to build proofs.

我不明白这里是什么Type，所有内容都在Prop中。我只是想建立一个证明，Coq为什么不开心？在我的完整问题中，P要复杂得多，证明所有证人的某些东西确实有意义。

Answer 1

撰写时详细说明@eponier的评论

    data <- tbl(conn, in_schema("Person", "Person"))

您实际上是在写作

Definition allWitnessesBelowOne : Prop
  := forall n : nat,
    match allP n with
    | ex_intro _ k _ => k <= 1
    end.

当您拥有Definition allWitnessesBelowOne : Prop := forall n : nat, match allP n return Prop with | ex_intro _ k _ => k <= 1 end.时，返回类型return Prop的类型为Prop，而返回类型必须为Type才能满足消除限制。基本上，如果取消此限制，则会使Coq与经典逻辑不一致。例如，请参见the official documentation of Prop，Incorrect elimination of X in the inductive type "or":或CPDT on universes。

另一种查看方式是，如果您没有任何公理，则必须有可能将所有Prop解释为单例集（如果为true）或空集（如果为true）他们是错误的）。单例集合中没有非常数函数，因此您无法通过Prop的证明来定义任何有趣的属性。

解决此问题的最简单方法是停止使用exists k : nat, True。而是使用sigma（Prop）类型来表示：

sig

最后一个的替代定义是

Definition P (n : nat)
:= { k : nat | True }.

Lemma allP : forall n : nat, P n.
Proof.
  intros. exists 0. trivial.
Defined.

Definition allWitnessesBelowOne : Prop
  := forall n : nat,
    match allP n with
    | exist _ k _ => k <= 1
    end.

您可以做的另一件事是，您可以做所有延续传递样式的事情：

Definition allWitnessesBelowOne : Prop
  := forall n : nat,
    proj1_sig (allP n) <= 1.

在这里，Definition P (n : nat) : Prop := exists k:nat, True. Lemma allP : forall n : nat, P n. Proof. intros. exists 0. trivial. Defined. Lemma allWitnessesBelowOne_cps (n : nat) (Result : P n -> Prop) : (forall k pf, k <= 1 -> Result (ex_intro _ k pf)) -> Result (allP n). Proof. unfold allP; intro H. apply H; repeat constructor. Defined.确定您最终将要证明的Result。这个引理说，每当您尝试证明有关Prop的{{1}}时，都可以假定您证明有关Result的值的allP n。不过，这相当复杂，因此我建议您在可以管理的情况下仅删除Result。

对多个证人提出主张

1 个答案: