在球形体积内采样均匀分布的随机点

Question

我希望能够生成一个随机均匀的粒子位置样本，该样本落在球形体积内。

下面的图片（由http://nojhan.free.fr/metah/提供）显示了我正在寻找的内容。这是穿过球体的切片，显示了点的均匀分布：

这就是我目前所得到的：

由于球面和笛卡尔坐标之间的转换，您可以看到中心有一组点。

我使用的代码是：

def new_positions_spherical_coordinates(self):
   radius = numpy.random.uniform(0.0,1.0, (self.number_of_particles,1)) 
   theta = numpy.random.uniform(0.,1.,(self.number_of_particles,1))*pi
   phi = numpy.arccos(1-2*numpy.random.uniform(0.0,1.,(self.number_of_particles,1)))
   x = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.cos( phi )
   y = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.sin( phi )
   z = radius * numpy.cos( theta )
   return (x,y,z)

下面是一些MATLAB代码，据说可以创建一个统一的球形样本，类似于http://nojhan.free.fr/metah给出的等式。我似乎无法破译它或理解他们做了什么。

function X = randsphere(m,n,r)

% This function returns an m by n array, X, in which 
% each of the m rows has the n Cartesian coordinates 
% of a random point uniformly-distributed over the 
% interior of an n-dimensional hypersphere with 
% radius r and center at the origin.  The function 
% 'randn' is initially used to generate m sets of n 
% random variables with independent multivariate 
% normal distribution, with mean 0 and variance 1.
% Then the incomplete gamma function, 'gammainc', 
% is used to map these points radially to fit in the 
% hypersphere of finite radius r with a uniform % spatial distribution.
% Roger Stafford - 12/23/05

X = randn(m,n);
s2 = sum(X.^2,2);
X = X.*repmat(r*(gammainc(s2/2,n/2).^(1/n))./sqrt(s2),1,n);

我非常感谢有关在Python中从球形体积生成真正统一样本的任何建议。

似乎有很多例子展示了如何从均匀的球壳采样，但这似乎更容易一个问题。这个问题与缩放有关 - 半径为0.1的粒子应该比半径为1.0的粒子少，以便从球体的体积中生成均匀的样本。

编辑： 修正并删除了我正常要求的事实，我的意思是制服。

Answer 1

虽然我更喜欢球体的丢弃方法，但为了完整性I offer the exact solution。

在球坐标系中，利用sampling rule：

phi = random(0,2pi)
costheta = random(-1,1)
u = random(0,1)

theta = arccos( costheta )
r = R * cuberoot( u )

现在您有一个(r, theta, phi)组，可以通常的方式转换为(x, y, z)

x = r * sin( theta) * cos( phi )
y = r * sin( theta) * sin( phi )
z = r * cos( theta )

Answer 2

生成一组均匀分布在立方体内的点，然后丢弃距离中心的距离超过所需球体半径的点。

Answer 3

在n维空间中有一种很好的方法可以在球体上生成均匀的点，你已经在你的问题中指出了这一点（我的意思是MATLAB代码）。

为什么会这样？答案是：让我们看一下n维正态分布的概率密度。它是相等的（达到常数）

exp（-x_1 * x_1 / 2）* exp（-x_2 * x_2 / 2）... = exp（-r * r / 2）， 所以它不依赖于方向，只取决于距离！这意味着，在对矢量进行标准化后，得到的分布密度将在整个球体上保持不变。

这种方法应该是绝对优选的，因为它简单，通用和高效（和美观）。 代码，在三维中生成 on 球体上的1000个事件：

size = 1000
n = 3 # or any positive integer
x = numpy.random.normal(size=(size, n)) 
x /= numpy.linalg.norm(x, axis=1)[:, numpy.newaxis]

顺便说一句，看看的好链接：http://www-alg.ist.hokudai.ac.jp/~jan/randsphere.pdf

至于在球体内具有均匀分布，而不是对矢量进行归一化，你应该将vercor乘以一些f（r）：f（r）* r的分布密度与r ^成比例n在[0,1]上，这是在您发布的代码中完成的

Answer 4

这是否足够统一以达到您的目的？

In []: p= 2* rand(3, 1e4)- 1
In []: p= p[:, sum(p* p, 0)** .5<= 1]
In []: p.shape
Out[]: (3, 5216)

它的一部分

In []: plot(p[0], p[2], '.')

看起来像：

Answer 5

Normed高斯3d矢量均匀分布在球体上，参见http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html

例如：

N = 1000
v = numpy.random.uniform(size=(3,N)) 
vn = v / numpy.sqrt(numpy.sum(v**2, 0))

Answer 6

我同意Alleo。我将您的Matlab代码翻译成Python，它可以非常快地生成数千个点（在我的计算机中用于2D和3D的几分之一）。我甚至为高达5D的超球体运行它。 我发现您的代码非常有用，我将其应用于研究中。 Tim McJilton，我应该添加谁作为参考？

import numpy as np
from scipy.special import gammainc
from matplotlib import pyplot as plt
def sample(center,radius,n_per_sphere):
    r = radius
    ndim = center.size
    x = np.random.normal(size=(n_per_sphere, ndim))
    ssq = np.sum(x**2,axis=1)
    fr = r*gammainc(ndim/2,ssq/2)**(1/ndim)/np.sqrt(ssq)
    frtiled = np.tile(fr.reshape(n_per_sphere,1),(1,ndim))
    p = center + np.multiply(x,frtiled)
    return p

fig1 = plt.figure(1)
ax1 = fig1.gca()
center = np.array([0,0])
radius = 1
p = sample(center,radius,10000)
ax1.scatter(p[:,0],p[:,1],s=0.5)
ax1.add_artist(plt.Circle(center,radius,fill=False,color='0.5'))
ax1.set_xlim(-1.5,1.5)
ax1.set_ylim(-1.5,1.5)
ax1.set_aspect('equal')

Answer 7

＆＃13;

＆＃13;

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt





r= 30.*np.sqrt(np.random.rand(1000))
#r= 30.*np.random.rand(1000)
phi = 2. * np.pi * np.random.rand(1000)



x = r * np.cos(phi)
y = r * np.sin(phi)


plt.figure()
plt.plot(x,y,'.')
plt.show()

＆＃13;

＆＃13;

＆＃13;

这就是你想要的

Answer 8

import random
R = 2

def sample_circle(center):
    a = random.random() * 2 * np.pi
    r = R * np.sqrt(random.random())
    x = center[0]+ (r * np.cos(a))
    y = center[1] + (r * np.sin(a))
    return x,y

ps = np.array([sample_circle((0,0)) for i in range(100)])

plt.plot(ps[:,0],ps[:,1],'.')
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)
plt.show()

Answer 9

您可以在spherical coordinates中生成随机点（假设您正在使用3D）：S（r，θ，φ），其中r∈[0，R），θ∈[0，π] ，φ∈[0,2π），其中R是球体的半径。这也可以让你直接控制生成的点数（即你不需要丢弃任何点）。

为了补偿半径密度的损失，您将根据幂律分布生成径向坐标（有关如何执行此操作的说明，请参阅 dmckee的答案）。

如果您的代码需要（x，y，z）（即笛卡尔坐标）坐标，那么您只需将随机生成的点球形转换为笛卡尔坐标，如here所述。