如何将极性形式的x和y值从这些耦合的ODE转换为笛卡尔形式并绘制图形？

Question

我已经编写了这段代码来模拟弹簧摆的运动

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from numpy import sin, cos, pi, array
import matplotlib.pyplot as plt

def deriv(z, t):
    
    x, y, dxdt, dydt = z

    dx2dt2=(0.415+x)*(dydt)**2-50/1.006*x+9.81*cos(y)
    dy2dt2=(-9.81*1.006*sin(y)-2*(dxdt)*(dydt))/(0.415+x)
    
    return np.array([x,y, dx2dt2, dy2dt2])

init = array([0,pi/18,0,0])
time = np.linspace(0.0,10.0,1000)
sol = odeint(deriv,init,time)

def plot(h,t):
    n,u,x,y=h
    n=(0.4+x)*sin(y)
    u=(0.4+x)*cos(y)
    return np.array([n,u,x,y])

init2 = array([0.069459271,0.393923101,0,pi/18])

time2 = np.linspace(0.0,10.0,1000)
sol2 = odeint(plot,init2,time2)

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.plot(sol2[:,0], sol2[:, 1], label = 'hi')
plt.legend()
plt.show()

其中x和y是两个变量，我试图将x和y转换为极坐标n（x轴）和u（y轴），然后在其中n为在x轴上，而u在y轴上。但是，当我绘制上面的代码时，它会给我：

相反，我应该得到的图像与此类似：

代码的第一部分-从“ def deriv（z，t）：到sol：odeint（deriv ...”）是生成x和y的值的地方，然后我可以将其转换为直角坐标并绘制图形。如何更改代码以做到这一点？我是Python的新手，所以我可能不懂某些术语。谢谢！

Answer 1

第一个解决方案应该会给您预期的结果，但是ode的实现存在错误。

传递给odeint的函数应返回一个包含一阶阶微分方程组解的数组。

您所要解决的是

相反，您应该解决

为此，请将您的代码更改为此

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from numpy import sin, cos, pi, array
import matplotlib.pyplot as plt


def deriv(z, t):

    x, y, dxdt, dydt = z

    dx2dt2 = (0.415 + x) * (dydt)**2 - 50 / 1.006 * x + 9.81 * cos(y)
    dy2dt2 = (-9.81 * 1.006 * sin(y) - 2 * (dxdt) * (dydt)) / (0.415 + x)

    return np.array([dxdt, dydt, dx2dt2, dy2dt2])


init = array([0, pi / 18, 0, 0])
time = np.linspace(0.0, 10.0, 1000)
sol = odeint(deriv, init, time)

plt.plot(sol[:, 0], sol[:, 1], label='hi')
plt.show()

代码的第二部分看起来像您正在尝试更改坐标。 我不确定为什么您要尝试再次解决问题，而不是仅仅这样做。

x = sol[:,0]
y = sol[:,1]

def plot(h):
    x, y = h
    n = (0.4 + x) * sin(y)
    u = (0.4 + x) * cos(y)
    return np.array([n, u])

n,u = plot( (x,y))

到目前为止，您在这里正在解决此系统：

这导致x = e ^ t和y = e ^ t且n'=（0.4 + e ^ t）* sin（e ^ t）u'=（0.4 + e ^ t）* cos（e ^ t）。

在不过多讨论细节的情况下，凭直觉，您会发现这会导致吸引子，因为 n 和 u 的派生词将开始转换符号更快，幅度更大，并且呈指数级增长，导致 n 和 u 塌陷到吸引子上，如情节所示。

如果您实际上是在尝试求解另一个微分方程，则需要查看它才能进一步帮助您

如果进行转换并将时间设置为1000，就会发生这种情况：