如何将凸多边形分解为在X轴和Y轴上对齐的直角三角形？

Question

给定由一组顶点表示的凸多边形（我们可以假设它们是逆时针顺序），如何将这个多边形分解成一组右三角形，其腿与X和Y对齐-axes？

由于我可能缺少一些数学术语，所以我称之为“腿”的是那两条不斜边的线（如果我在表面刺伤数学术语，请提前道歉 - - 修正是额外的信用）。

Answer 1

我不确定是否要编写一个算法来执行此操作，但似乎完全有可能对一张纸上的任何凸多边形执行此操作。对于每个顶点，从该顶点垂直或水平地投射一条直到它遇到另一条垂直或水平线。对于角度变化较小的顶点，其中相邻边在x和y方向上都在相同方向上移动，您需要从顶点添加两条线，一条水平线和一条垂直线。 完成此操作后，您应该在原始多边形的中心留下一个多边形，但边的垂直或水平，因为边是由原始多边形的顶点绘制的线形成的。因为这些边是垂直的或水平的，所以这种形状可以很容易地细分为多个三角形，其中一个水平边，一个垂直边和一个斜边。

Answer 2

我假设您已经按照上面描述的那样对顶点进行了排序，并确实定义了一个凸多边形。

每个顶点定义一条水平线。对于V顶点，那么，您将拥有一组V线。丢弃符合以下条件之一的任何行：

• 定义该行的顶点或顶点具有最高或最低Y分量（如果一个顶点，该线仅在该点与多边形相交;如果是两个，该线与多边形边缘重合）
• 如果两个顶点具有相等的Y坐标，则只保留其中一条线（它是重复的）。

结果将类似于多边形的“条带”。

每条水平线在两个点处与多边形相交。一个是它的定义顶点。另一个是另一个顶点，或由两个顶点定义的段上的点。你可以很容易地确定哪种情况 - 只需简单比较Y坐标。与段相交的坐标也很容易数学，我留给你。

每个交叉点定义一个垂直段。该段包含在多边形内（如果它与边缘重合，您可以将其丢弃），另一端与另一条水平线相交，或者如果该边缘本身是水平的则与多边形的边缘相交。确定案例再次仅仅是对坐标的比较。最后，如果只有一个，则可能有0-2个额外的垂直段，由具有最高和/或最低Y坐标的顶点定义。

现在生成的图表显示了每个带，如果可能的话，每个带都会修剪掉一个直角三角形。每个三角形都应符合您的标准。剩下的区域是矩形;绘制一个任意对角线，将每个对角线分成两个符合您标准的直角三角形。

你已经完成了。

Answer 3

我不确定这是否可行。想想一个已经与X和Y轴上的边对齐的正方形。如何使用也与X，Y轴对齐的顶点绘制三角形？

或者允许多边形的实际边沿x，y轴。这意味着你可以在广场的对角线上划一条线。如果是这样，可能很难处理更复杂的多边形，其中一些边与轴对齐，而其他边则不是。

Answer 4

我不相信这个问题有一个普遍的解决方案。问题是与X轴和Y轴位对齐。这意味着每个顶点都需要在X和Y方向上投影到多边形的相对侧，并在这些交叉点处创建新顶点。但是，对于以这种方式添加的每个新顶点，必须继续该过程。你可能会很幸运，并且这个过程会终止（因为已经有一个顶点适当地放在另一侧），但在一般情况下，它只会继续下去。

如果你抛弃这个限制，那么Neil N的建议对我来说似乎很好。

Answer 5

我认为，尼尔N是对的。不幸的是他没有提供任何具体的链接。

如果你有一个顶部和底部与X轴平行的梯形，你可以用4个直角三角形轻松渲染。称这形状为水平梯形。

如果你有一个三边平行于X轴的三角形，你可以用2个直角三角形渲染它 - 或者你可以考虑梯形的退化情况，底部的顶部长度为零。

从凸包的顶部或底部开始（即搜索最小或最大y的坐标）并将其拆分为水平梯形。

编写代码并不困难，因此它与非凸多边形一样好。

Answer 6

我认为在一般情况下这是不可能的。

考虑多边形{（0,1），（1,0），（2,0）}

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如您所述，此三角形无法拆分为有限数量的三角形。