使用贪婪算法找到树的最小尺寸支配集

Question

支配集（DS）：=给定无向图G =（V; E），一组 顶点S V是一个支配集，如果对于V中的每个顶点，都有一个顶点 与v相邻的S。整个顶点集V是一个平凡的支配集 任何图表。

找到树的最小尺寸支配集。

Answer 1

1-始终从叶子开始

2-将他们的父母添加到DS并剪切孩子

3-将选定父级的父级标记为已占优势

4-完成流程后，检查那些标记的节点是否有子节点 支配并将它们添加到DS

祝你好运

Answer 2

我将尝试以更正式的方式证明这一点。

概述

要证明您的贪婪算法是正确的，您需要证明两件事：

1. 首先，您的贪婪选择是有效的，并且可以始终用于形成最佳解决方案，并且
2. 第二，您的问题具有最优的子结构属性，也就是说，您可以形成从最优解到自己问题的子问题的最优解。

贪婪选择：在树T =（V，E）中，在树上找到叶数最多的顶点 v 。将其添加到您的主导集中。

最佳子结构

T'=（V'，E'）使得：

• V'= V \（{a：a ϵ V，a与v相邻，并且a的度≤2}∪{v}）
• E'= E-涉及任何已移除顶点的任何边

换句话说

寻找具有最多叶数的顶点，移除其度数小于或等于2的任何相邻顶点，然后移除v本身，并将其添加到主导集中。重复此操作，直到没有顶点为止。

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证明

贪婪选择证明

对于任何叶子 l ，必须是其自身或其父级位于主导集中。在我们的例子中，我们会选择的顶点 v 处于这种情况。

让 A = { v ₁ ，v ₂ ，...，v _k }是T的最小主导集。如果A已经具有 v 作为成员，我们就完成了。如果不是，则必须具有 l ，否则它不是主导集。因此，我们可以简单地形成 A' = { A - {l} + { v }}，主导地位。由于| A' | = | A |， A'仍然是最佳的。因此，我们始终可以通过我们的贪婪选择来形成最佳解决方案。

最佳子结构证明

假设 A 是 T =（ V，E ）的最小主导集，但是 A' = A \ { v }不是上述定义的 T'的最小主导集。

使T'的最小主导集称为B。如上所述，| B | <| A' |。可以证明 B' = B ∪{ v }是 T 的主要集合。然后，由于| A' | = | A | -1 | | B' | = | B | + 1，我们得到| B' | <| A |。这是矛盾的，因为我们假设 A 是最小的独立集。因此必须 A'也是 T'的最小独立集合。

证明 B' = B ∪{ v }是 T 的主要集合：

• v 的相邻顶点可能不在 T'中。我们将显示 T'中未考虑的任何顶点将由 B'中的顶点控制（这意味着我们最佳地选择了集合）：让 y 是与 v 相邻的某个顶点，而不是在 T'中。根据 T'的定义，y只能具有1级或2级。现在， y 由 v 主导。如果 y 是一片叶子，那么我们就完成了。但是，如果 y 为2级，则 y 连接到另一个必须位于 B 主导集中的节点。这是因为，当我们删除 v 使其成为T'时， y 的度变为1，这意味着必须添加 y 或其父级到主导地位。因此， B'是 T 的主导集。