如何用sympy解泊松2D方程？

Question

我在2D空间中有一个泊松方程，像这样：

这是我尝试解决的问题：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x, y')
f = sp.Function('f')
u = f(x, y)
eq = sp.Eq(u.diff(x, 2) + u.diff(y, 2), u)
print(sp.pdsolve(eq))

出现错误：

psolve: Cannot solve -f(x, y) + Derivative(f(x, y), x, x) + Derivative(f(x, y), y, y)

是否可以将sympy用于此类方程式？如有可能，请帮我举个例子。

Answer 1

在PDE solver page的底部，您会找到

  

当前实施的求解器方法

     

  
• 具有常数系数的一阶线性齐次偏微分方程。
  
• 具有常数系数的一阶线性一般偏微分方程。
  
• 一阶变系数线性偏微分方程。
  

没有二阶。这并不奇怪，因为这样的PDE不允许使用显式的符号解决方案，只有少数（大多数是无趣的）例外。 （如果方程式实际上是具有零Neumann条件的Eq(u.diff(x, 2) + u.diff(y, 2), u)，则解也等于零。）不仅SymPy不知道如何找到符号解，还没有找到这样的解。

Answer 2

我认为您可以使用这个想法，其中 nt 是泊松求解器的迭代次数，而 b 是源项。 dx 和 dy 是 x 和 y 的步长，最终得到边界条件。

for it in range(nt):
    pd = pDF.copy()
    pDF[1:-1,1:-1] = (((pd[1:-1, 2:] + pd[1:-1, :-2]) * dy**2 +
                    (pd[2:, 1:-1] + pd[:-2, 1:-1]) * dx**2 -
                    b[1:-1, 1:-1] * dx**2 * dy**2) / 
                    (2 * (dx**2 + dy**2)))

    pDF[0, :] = 0
    pDF[nx-1, :] = 0
    pDF[:, 0] = 0
    pDF[:, ny-1] = 0