凸多边形中最短的区域平分线

Question

我很难找到它：

我不知道如何找到这个，甚至不知道编写算法来做到这一点。你能帮我吗？

预先感谢

Answer 1

提示：

我将按以下方式解决此问题：

• 以四边形研究问题，并建立一条规则，该规则将点在边缘上的位置与将面积减半的线段的长度相关，或更普遍地分为两个指定部分。

• 找到给出最短行的条件。

• 一般化到普通多边形边缘上的一个点。

我相当确定，对于在边缘上移动的点，最小配置以有限的数量出现，并且通过扫描所有边缘，您可以枚举所有候选并找到最短的候选。

Answer 2

每条将区域分成两半的线都将通过一个称为“中心”的点：https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid

此外，尽管形心重心，但每一条线都会将区域一分为二。

因此，第一步是找到质心。然后，当您在多边形上移动一个点时，只需要从该点到质心画一条线即可在另一侧找到该点。您将遍历所有将区域分成两半的线段。您的任务是找到这些细分中最短的细分。

对于具有N个顶点的多边形，当穿过质心的线的角度发生变化时，它会扫出N个不同的领结形区域，在该区域中，线的多边形边都不会改变。当穿过质心的线在任意一端碰到多边形顶点时，区域就会改变。

针对此问题的有效算法将找到每个区域中最短的片段，然后从中选择最小值。它可以是接触多边形顶点的区域的一端（易于测量），也可以位于中间的某个位置。

当最小距离在该区域的中间某个位置时，可以通过三元搜索（https://en.wikipedia.org/wiki/Ternary_search）找到它，或者可以使用微积分。我将质心作为原点，将区域两侧的多边形边缘转换为极坐标，然后翻转180度，将它们加在一起，然后找到使半径最小的角度。

以这种方式工作的算法可以为O（N）时间中最短的等分线得到准确的答案。