计算一组被随机子集覆盖的概率

Question

假设这两个集合作为输入：

• 一组 U 作为宇宙
• 和一组 S ，其中包含 U 的一些子集。

为 S 的成员分配了 random 标志0或1。对于每个 S 成员，标志1的概率为< em> p ，标记0为（1-p）。

所需的输出为：' S 中的标记1子集的联合= U 的概率

尽管考虑到 S 中的flag 1子集的所有可能组合都是导致输出的简单算法，但这种蛮力方法的运行时间显然是指数的。

是否有任何多项式时间算法可以得出精确或近似输出？还是我们可以将问题减少到像机盖这样的著名机器上？

Answer 1

得到一个确切的答案是＃P-hard（计算NP的模拟量，因此至少同样困难），因为这个问题将单调的2-CNF-SAT概括为＃P-hard（威尔士，多米尼克； Gale，Amy（2001），“计数问题的复杂性”，复杂性方面：算法，复杂性和计算代数的微型课程：数学研讨会，Kaikoura，2000年1月7日至15日，第115ff页，定理57。）。简化是将U设置为子句标识符集合，并使S中的每个子集成为其中出现某些变量的子句集合。编辑：每组natch都设置p = 1/2。