用_ind证明关于归纳类型的定理；应用规则

Question

Variables A B : Prop.

Theorem proj1 : A /\ B -> A.

为了学习，我试图通过使用and_ind明确写下证明项来证明该定理。

我认为正确的证明条件是

fun (H : A /\ B) => and_ind A B A (fun a _ => a) H

但这会引发错误，而正确的术语是

fun (H : A /\ B) => and_ind (fun a _ => a) H

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我不明白。 and_ind的定义是

and_ind = 
fun (A B P : Prop) (f : A -> B -> P) (a : A /\ B) => match a with
                                                     | conj x x0 => f x x0
                                                     end
     : forall A B P : Prop, (A -> B -> P) -> A /\ B -> P 

如何从中看出必须忽略参数(A B P : Prop)？

“应用”规则

《参考手册》中的

似乎清楚地表明，必须使用我尝试过的函数应用程序语法来明确地“实例化”量化的变量。

Answer 1

在Coq中，您可以将函数的某些参数声明为隐式。调用该函数时，不会为隐式参数提供值； Coq根据类型检查期间可用的其他信息自动尝试推断合适的值。 A的{​​{1}}，B和P参数都声明为隐式的，并且可以根据and_ind参数的类型和结果类型来推断函数参数的值。

您可以看到H命令认为哪些参数是隐式的：

About

您可以通过带有About and_ind. (* and_ind : forall A B P : Prop, (A -> B -> P) -> A /\ B -> P *) (* Arguments A, B, P are implicit *) (* Argument scopes are [type_scope type_scope type_scope function_scope _] *) (* and_ind is transparent *) (* Expands to: Constant Coq.Init.Logic.and_ind *) 符号的单个调用来关闭隐式参数：

@

（请注意，Coq在打印术语时也会自动省略隐式参数。）

Coq manual拥有关于该主题的更多信息。