在矩阵中找到从单一来源到多个目的地的最佳路线的算法

Question

问题陈述： 我们有一个m * n矩阵。起点是左上方的单元格。我们只能在矩阵中向下或向右移动。在矩阵中随机选择目的地。现在我们需要找到具有以下约束的最佳例程：

1. 该路线上的每个节点只能有一个父节点，但最多可以有两个子节点。
2. 最小化复制路径。 例如，如果我们的目的地如下所示：

与其在左侧使用例程，不如在右侧使用例程。

1. 宁愿先往右走再往下走，除非往下走的距离比往右短。

在下面的示例中，与其选择左手边的解决方案，不如选择右手边的解决方案，因为它通过从（2，0）向下移动1而不是右手向下移动到（2，1） 2（0，1）。

其他示例如下所示，都是最佳例程。

我正在为此工作一段时间。我研究了一些算法，例如传递性约简和Dijkstra，但没有弄清楚。如果您想给我一些有关算法的提示，那将是很棒的。

谢谢！

---

编辑2：

我已经收到有关Dijkstra算法和使用动态编程的一些想法。我认为对于Dijkstra算法，如果您可以提供一些提示，可以将这个问题转换为一个很好的图形问题。我一直在研究算法，认为它的主要问题是不必访问单元格。在下面的示例中，如果我们删除目的地之一，则与左侧地图相比，整个例程将发生重大变化。

对于动态编程，我对节点应如何连接到路径有一个想法。优先级应如下：

但是问题在于它无法通过动态视图来考虑问题，这将输出错误的结果。

Answer 1

我认为您的示例都可以使用以下通用算法：从第一行和第一列的末尾开始，然后从第二行和第二列的末尾开始，等等，同时向左和向上遍历-从每个D遇到最接近的路线D或S（当然，沿N-NW-W弧线的曼哈顿距离）。

示例7：

  1 2 3 4
1 S     D

2     D

3   D

4 D     D

  1 2 3 4
1 S-----D<
  |
2 |   D
  |
3 | D
  |
4 D     D
  ^

  1 2 3 4
1 S-----D
  |   |
2 |   D  <
  |
3 |-D
  |
4 D     D
    ^

  1 2 3 4
1 S-----D
  |   |
2 |   D
  |
3 |-D
  |
4 D-----D<
        ^

示例5：

  1 2 3 4
1 S

2       D

3     D

4 D     D

  1 2 3 4
1 S      <
  |
2 |     D
  |
3 |   D
  |
4 D     D
  ^

  1 2 3 4
1 S
  |
2 |-----D<
  |
3 |   D
  |
4 D     D
    ^

  1 2 3 4
1 S
  |
2 |-----D
  |   |
3 |   D  <
  |
4 D     D
      ^

  1 2 3 4
1 S
  |
2 |-----D
  |   |
3 |   D--
  |     |
4 D     D<
        ^

示例1：

  1 2 3 4
1 S

2     D

3   D   D

4     D

  1 2 3 4
1 S--
    |
2   --D  <
    |
3   D   D

4     D
    ^

  1 2 3 4
1 S--
    |
2   --D
    |
3   D---D<
      |
4     D
      ^

Answer 2

这是一个递归问题。您应该尝试练习贪婪算法和动态编程，并尝试进行一些分类以及一些混合编程问题，以更好地了解何时以及如何应用制作两者结合的算法。

使用分而治之方法来解决此问题。将自己放在移动光标的位置，然后考虑可以在每个节点上执行的一组有序逻辑操作，以解决问题。

几天后，我将添加我的算法来解决此问题。这是为了确保我不会意外地帮助某人在比赛中发热量。

您可以参考this和this来对该技术有所了解。 我还发现了一个有趣的article与更好地了解递归有关。它可能不会提供很多信息，但是绝对是激励人的。

提示： 只有3个可能的地方可以找到未访问的目标节点，以便可以访问：

1. 它在当前节点的正下方
2. 它直接位于当前节点的右侧
3. 它在当前节点右下角的某个地方

一种可能的算法是您递归：

1. 检查您下方的节点，并通过递归函数调用（如果有）立即访问它。
2. 检查当前水平级别中存在的最远节点，并在不进行递归调用的情况下为其绘制路径。

[编辑1：对不起，我忘了提到默认情况！！]

1. 如果在光标的水平或垂直方向上没有节点， 向右移。 该算法看似简单，但可以解决问题。 它的复杂度也只有O（N）。

Answer 3

感谢您的所有回答和评论。所有这些评论对我都很有价值，并激发了我的思维。

我现在想出一个利用现有Dijkstra算法和正确的节点遍历顺序的解决方案。现在，我们不再从左上角开始，而是将原始源作为目标。然后将所有方向都向后转，以便现在我们只能从一个节点向左或向上移动。解决方案如下所示：

1. 构建加权图。所有左上边缘的权重为1，所有上边缘的权重为（m +1-col），因此上移例程的第一列（具有4 x 4矩阵）的权重均为5。重量图示例如下所示：

2. 将节点（0，0）添加到已建立的路由。

3. 从左上角的节点（0，0）开始，检查其右侧的所有节点（（0，0）至（0，n））。然后检查其底部的所有节点（（1，0）至（m，0））。对于所有“源”节点（最初是目标节点），请使用Dijkstra算法找到返回“ 已建立路由”的最短路径，然后将Dijkstra算法中的所有节点添加到已建立路由中。

4. 对所有节点（i，i）重复步骤3，直到最后一个节点（（m，m）或（n，n））。

任何其他更有效的解决方案都将受到欢迎。另外，如果您发现此算法存在一个陷阱，那就太好了。该算法似乎有效，但是我感觉这不是最有效的方法。