我已经读过a few discussions，有关在三次方贝塞尔曲线的X处找到Y，并且还阅读了此article。 >
我的案件比一般案件更受限制，我想知道是否有比上述讨论中提到的一般方案更好的解决方案。
我的案子：
X值正在增加。即：
X3 > X2 > X1 > X0。 X(t)也严格单调递增。有没有一种有效的算法可以将这种限制因素考虑在内？
答案 0 :(得分：3)
首先，这个答案仅适用于您，因为您的控制点约束意味着我们一直在处理与常规函数等效的参数。在这种情况下，这显然是您想要的，但是将来找到该答案的任何人都应该意识到，这个答案是基于这样的假设，即任何给定的x值都只有一个一个 y值。当然，对于一般的贝塞尔曲线，绝对不是真的。
话虽如此，我们知道，即使我们已将该曲线表示为二维的参数曲线，我们仍在处理一条曲线，该曲线对于所有意图和目的都必须具有{{ 1}}。我们也知道，只要我们知道唯一地属于特定x的“ t”值（只有这种情况是因为您严格单调增加系数的属性），我们才能将y计算为y = f(x)，因此问题是：给定一些已知的y = By(t)值，我们是否可以计算需要插入t的{{1}}值？
答案是：是的，我们可以。
首先，可以说我们开始使用的任何By(t)值都来自x，因此，鉴于我们知道x，我们应该能够找到相应的值x = Bx(t)中的）指向该x。
让我们看一下x（t）的函数：
t我们可以将其重写为简单的多项式形式：
x这是一个标准的三次多项式，仅将常数称为系数，我们可以轻松地将其重写为：
x(t) = a(1-t)³ + 3b(1-t)²t + 3c(1-t)t² + dt³
您可能想知道“对于所有其他值a，b，c和d，所有-x都放在哪里？”答案是它们都被抵消了，所以我们实际上最终唯一需要减去的就是最后一个。方便！
所以现在我们只需...解决这个问题：除了x(t) = (-a + 3b- 3c + d)t³ + (3a - 6b + 3c)t² + (-3a + 3b)t + a
以外我们都知道，我们只需要一些数学知识即可告诉我们如何执行此操作。
...当然，这里的“限定词”当然不是正确的，找到三次函数的根也没有“正当”的意思，但值得庆幸的是，Gerolano Cardano为确定根的基础奠定了基础在16世纪，使用复数。在任何人还没有发明复数之前。相当壮举！但这是编程的答案，而不是历史的教训，所以让我们开始实现：
给出x的一些已知值，并了解我们的坐标a，b，c和d，我们可以按以下方式实现寻根：
(-a + 3b- 3c + d)t³ + (3a - 6b + 3c)t² + (-3a + 3b)t + (a-x) = 0
好的，那是一段代码，还有很多附加功能：
t是cuberoot函数。实际上，在这种情况下，我们实际上并不关心复数，因此更简单的实现方法是使用def，宏，三元数或您选择的语言提供的任何速记形式：// Find the roots for a cubic polynomial with bernstein coefficients
// {pa, pb, pc, pd}. The function will first convert those to the
// standard polynomial coefficients, and then run through Cardano's
// formula for finding the roots of a depressed cubic curve.
double[] findRoots(double x, double pa, double pb, double pc, double pd) {
double
pa3 = 3 * pa,
pb3 = 3 * pb,
pc3 = 3 * pc,
a = -pa + pb3 - pc3 + pd,
b = pa3 - 2*pb3 + pc3,
c = -pa3 + pb3,
d = pa - x;
// Fun fact: any Bezier curve may (accidentally or on purpose)
// perfectly model any lower order curve, so we want to test
// for that: lower order curves are much easier to root-find.
if (approximately(a, 0)) {
// this is not a cubic curve.
if (approximately(b, 0)) {
// in fact, this is not a quadratic curve either.
if (approximately(c, 0)) {
// in fact in fact, there are no solutions.
return new double[]{};
}
// linear solution:
return new double[]{-d / c};
}
// quadratic solution:
double
q = sqrt(c * c - 4 * b * d),
b2 = 2 * b;
return new double[]{
(q - c) / b2,
(-c - q) / b2
};
}
// At this point, we know we need a cubic solution,
// and the above a/b/c/d values were technically
// a pre-optimized set because a might be zero and
// that would cause the following divisions to error.
b /= a;
c /= a;
d /= a;
double
b3 = b / 3,
p = (3 * c - b*b) / 3,
p3 = p / 3,
q = (2 * b*b*b - 9 * b * c + 27 * d) / 27,
q2 = q / 2,
discriminant = q2*q2 + p3*p3*p3,
u1, v1;
// case 1: three real roots, but finding them involves complex
// maths. Since we don't have a complex data type, we use trig
// instead, because complex numbers have nice geometric properties.
if (discriminant < 0) {
double
mp3 = -p/3,
r = sqrt(mp3*mp3*mp3),
t = -q / (2 * r),
cosphi = t < -1 ? -1 : t > 1 ? 1 : t,
phi = acos(cosphi),
crtr = crt(r),
t1 = 2 * crtr;
return new double[]{
t1 * cos(phi / 3) - b3,
t1 * cos((phi + TAU) / 3) - b3,
t1 * cos((phi + 2 * TAU) / 3) - b3
};
}
// case 2: three real roots, but two form a "double root",
// and so will have the same resultant value. We only need
// to return two values in this case.
else if (discriminant == 0) {
u1 = q2 < 0 ? crt(-q2) : -crt(q2);
return new double[]{
2 * u1 - b3,
-u1 - b3
};
}
// case 3: one real root, 2 complex roots. We don't care about
// complex results so we just ignore those and directly compute
// that single real root.
else {
double sd = sqrt(discriminant);
u1 = crt(-q2 + sd);
v1 = crt(q2 + sd);
return new double[]{u1 - v1 - b3};
}
}
。crt()仅为2π。在进行几何编程时，闲逛是很有用的。crt(x) = x < 0 ? -pow(-x, 1f/3f) : pow(x, 1f/3f);是一种将值与目标周围很小间隔比较的函数，因为IEEE浮点数是 jerks 。基本上，我们是在谈论tau之类的东西。如果有点java风格的话，其余的应该是不言自明的（我在这类事情上使用Processing）。
使用此实现，我们可以编写实现以在给定x的情况下找到y。与三次调用相比，涉及的内容要多得多，因为立方根是复杂的事物。您最多可以恢复三个根源。但是其中只有一个适用于我们的“ t时间间隔” [0,1]：
approximately就这样，我们完成了：现在，我们有了“ t”值，可以用来获取相关的“ y”值。
答案 1 :(得分：1)
如果二进制搜索太复杂，仍然有一种O(1)方法，但是它的局限性很大。我假设您使用的是4个控制点（p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)）三次贝塞尔曲线，并由间隔t中的某个[0.0 , 1.0]参数化，所以：
t = 0.0 -> x(t) = x0, y(t) = y0;
t = 1.0 -> x(t) = x3, y(t) = y3;
首先让我们暂时忘记贝塞尔曲线，而使用a catmull-rom curve，这只是表示相同曲线的另一种方法。要在2个立方之间转换，请使用以下命令：
// BEzier to Catmull-Rom
const double m=6.0;
X0 = x3+(x0-x1)*m; Y0 = y3+(y0-y1)*m;
X1 = x0; Y1 = y0;
X2 = x3; Y2 = y3;
X3 = x0+(x3-x2)*m; Y3 = y0+(y3-y2)*m;
// Catmull-Rom to Bezier
const double m=1.0/6.0;
x0 = X1; y0 = Y1;
x1 = X1-(X0-X2)*m; y1 = Y1-(Y0-Y2)*m;
x2 = X2+(X1-X3)*m; y2 = Y2+(Y1-Y3)*m;
x3 = X2; y3 = Y2;
其中(xi,yi)是Bezier控制点，(Xi,Yi)是Catmull-Rom点。现在，如果所有控制点之间的X距离具有相同的距离：
(X3-X2) == (X2-X1) == (X1-X0)
然后X坐标与t线性。这意味着我们可以直接从t计算X：
t = (X-X1)/(X2-X1);
现在，我们可以直接为任何Y计算X。因此，如果可以选择控制点，则选择它们以使其符合X距离条件。
如果不满足条件，则可以尝试更改控制点，使其满足要求（通过二进制搜索，将立方细分为更多小块等），但是请注意，更改控制点可能会改变所得曲线的形状如果不小心。