如何计算2D向量场的散度和卷曲？

Question

我正在编写一个Applet，用于在Processing中显示2D矢量字段。

在1000x1000的画布上，我绘制了一个20像素长的箭头，该箭头从画布上的网格所标识的每个点开始，并具有相对于在该点计算的矢量分量的方向。现在，我需要显示散度的色图和字段卷曲的色图，其中不同的颜色相对于不同的散度（或卷曲）值。鉴于编译器本身无法执行微分运算（偏导数，或在这种情况下，无法建立2D标量散度域），我需要找到另一种方法。

我的求差方法：对于平面上的每个矢量，我在附近的4个矢量（上，下，右，左一个）上减去（减去矢量）本身。然后，我将向量本身与这4个减法的每个结果进行点积。然后，我找到这些点积结果的平均值，并将其映射到颜色值。

生成的颜色图不正确。我的方法看起来也很凌乱，而且最重要的是，在每个帧上对每个矢量进行的所有计算确实会降低帧速率。

正如Curl所关心的，方法是相同的，但是点积现在是叉积。您是否建议其他方法？

v 是向量本身

calcI 和 calcJ 计算向量I和J分量

            PVector diff1 = PVector.sub(new PVector(calcI(x-1,y-1), calcJ(x-1,y-1)), v);
            PVector diff2 = PVector.sub(new PVector(calcI(x,y-1), calcJ(x,y-1)), v);
            PVector diff3 = PVector.sub(new PVector(calcI(x+1,y-1), calcJ(x+1,y-1)), v);
            PVector diff4 = PVector.sub(new PVector(calcI(x-1,y), calcJ(x-1,y)), v);
            PVector diff5 = PVector.sub(new PVector(calcI(x+1,y), calcJ(x+1, y)), v);
            PVector diff6 = PVector.sub(new PVector(calcI(x-1,y+1), calcJ(x-1,y+1)), v);
            PVector diff7 = PVector.sub(new PVector(calcI(x,y+1), calcJ(x,y+1)), v);
            PVector diff8 = PVector.sub(new PVector(calcI(x+1,y+1), calcJ(x+1,y+1)), v);
            diff1.normalize();
            diff2.normalize();
            diff3.normalize();
            diff4.normalize();
            diff5.normalize();
            diff6.normalize();
            diff7.normalize();
            diff8.normalize();
            v.normalize();
            float divergence = (PVector.dot(v, diff1)+PVector.dot(v, diff2)+PVector.dot(v, diff3)+PVector.dot(v, diff4)+  
                                PVector.dot(v, diff5)+PVector.dot(v, diff6)+PVector.dot(v, diff7)+PVector.dot(v, diff8))/8;

            c = color( map(divergence, 0,1, 0,255) , 0, map(divergence, -1,0, 255,0) );
        fill(c, 10);