如何在SymPy中生成给定维的符号多元多项式？

Question

我想使用幂级数来近似一些PDE。给定一个numpy ndarray，我首先需要生成符号多元多项式。

考虑以下多项式：

我想采用m的{​​{1}}维ndarray，其中D=[d1,...,dm]是非负整数，并以符号表达式的形式生成符号多元多项式。符号表达式由以下形式的单项式组成：

例如，如果dj的输出应为

对于这种特定情况，我可以嵌套两个D=[2,3]并添加表达式。但是我不知道该怎么处理任意长度的for loops。如果我可以生成D和D的{​​{1}}维ndarray而不使用for循环，那么我可以将A用作Frobenius inner product来获得所需的内容。

Answer 1

为此，我将使用symarray和itertools.product：

from sympy import *
import itertools
D = (3, 4, 2, 3)
a = symarray("a", D)
x = symarray("x", len(D))
prod_iterator = itertools.product(*map(range, D))
result = Add(*[a[p]*Mul(*[v**d for v, d in zip(x, p)]) for p in prod_iterator])

结果是

a_0_0_0_0 + a_0_0_0_1*x_3 + a_0_0_0_2*x_3**2 + a_0_0_1_0*x_2 + a_0_0_1_1*x_2*x_3 + a_0_0_1_2*x_2*x_3**2 + a_0_1_0_0*x_1 + a_0_1_0_1*x_1*x_3 + a_0_1_0_2*x_1*x_3**2 + a_0_1_1_0*x_1*x_2 + a_0_1_1_1*x_1*x_2*x_3 + a_0_1_1_2*x_1*x_2*x_3**2 + a_0_2_0_0*x_1**2 + a_0_2_0_1*x_1**2*x_3 + a_0_2_0_2*x_1**2*x_3**2 + a_0_2_1_0*x_1**2*x_2 + a_0_2_1_1*x_1**2*x_2*x_3 + a_0_2_1_2*x_1**2*x_2*x_3**2 + a_0_3_0_0*x_1**3 + a_0_3_0_1*x_1**3*x_3 + a_0_3_0_2*x_1**3*x_3**2 + a_0_3_1_0*x_1**3*x_2 + a_0_3_1_1*x_1**3*x_2*x_3 + a_0_3_1_2*x_1**3*x_2*x_3**2 + a_1_0_0_0*x_0 + a_1_0_0_1*x_0*x_3 + a_1_0_0_2*x_0*x_3**2 + a_1_0_1_0*x_0*x_2 + a_1_0_1_1*x_0*x_2*x_3 + a_1_0_1_2*x_0*x_2*x_3**2 + a_1_1_0_0*x_0*x_1 + a_1_1_0_1*x_0*x_1*x_3 + a_1_1_0_2*x_0*x_1*x_3**2 + a_1_1_1_0*x_0*x_1*x_2 + a_1_1_1_1*x_0*x_1*x_2*x_3 + a_1_1_1_2*x_0*x_1*x_2*x_3**2 + a_1_2_0_0*x_0*x_1**2 + a_1_2_0_1*x_0*x_1**2*x_3 + a_1_2_0_2*x_0*x_1**2*x_3**2 + a_1_2_1_0*x_0*x_1**2*x_2 + a_1_2_1_1*x_0*x_1**2*x_2*x_3 + a_1_2_1_2*x_0*x_1**2*x_2*x_3**2 + a_1_3_0_0*x_0*x_1**3 + a_1_3_0_1*x_0*x_1**3*x_3 + a_1_3_0_2*x_0*x_1**3*x_3**2 + a_1_3_1_0*x_0*x_1**3*x_2 + a_1_3_1_1*x_0*x_1**3*x_2*x_3 + a_1_3_1_2*x_0*x_1**3*x_2*x_3**2 + a_2_0_0_0*x_0**2 + a_2_0_0_1*x_0**2*x_3 + a_2_0_0_2*x_0**2*x_3**2 + a_2_0_1_0*x_0**2*x_2 + a_2_0_1_1*x_0**2*x_2*x_3 + a_2_0_1_2*x_0**2*x_2*x_3**2 + a_2_1_0_0*x_0**2*x_1 + a_2_1_0_1*x_0**2*x_1*x_3 + a_2_1_0_2*x_0**2*x_1*x_3**2 + a_2_1_1_0*x_0**2*x_1*x_2 + a_2_1_1_1*x_0**2*x_1*x_2*x_3 + a_2_1_1_2*x_0**2*x_1*x_2*x_3**2 + a_2_2_0_0*x_0**2*x_1**2 + a_2_2_0_1*x_0**2*x_1**2*x_3 + a_2_2_0_2*x_0**2*x_1**2*x_3**2 + a_2_2_1_0*x_0**2*x_1**2*x_2 + a_2_2_1_1*x_0**2*x_1**2*x_2*x_3 + a_2_2_1_2*x_0**2*x_1**2*x_2*x_3**2 + a_2_3_0_0*x_0**2*x_1**3 + a_2_3_0_1*x_0**2*x_1**3*x_3 + a_2_3_0_2*x_0**2*x_1**3*x_3**2 + a_2_3_1_0*x_0**2*x_1**3*x_2 + a_2_3_1_1*x_0**2*x_1**3*x_2*x_3 + a_2_3_1_2*x_0**2*x_1**3*x_2*x_3**2

备注：

1. symarray取决于NumPy，但这对您来说似乎不是问题。如果是这样，我将使用itertools.product
来一个一个地创建符号
2. 与Add(*[...])相比，sum([...])格式在形成带有大量术语的符号和时效率更高，请参阅SymPy issue 13945。