为什么我们通过将第一行与第二列相乘来实现。它的实际用途和发明者是什么？逻辑上4x2表示四次两次或两次四次。那么为什么矩阵乘法只是相应元素的点积？
这是困扰我的事情之一。
答案 0 :(得分：6)
对于数字，2x4 = 4x2，因为它们是可交换的。矩阵不通勤，所以底层数字的交换性实际上与它无关。
这个想法是一个向量（我指的是一个垂直写入条目的列向量）是一个向量空间中的实体。此向量空间上定义了加法和标量乘法。它还附带一个基础，{e_n}。 e_i只是第i个分量中的1和其他地方的0的矢量。任何向量都可以写为{e_n}的线性组合。例如，在二维空间中，
|x_1| |1| |0|
|x_2| = x_1 |0| + x_2 |1|
矩阵作为线性变换作用于该向量并产生新的向量。线性变换只是一个函数， T ， T （x + y）= T （x）+ T （y）和c T （x）= T （cx）对于任何向量，x和y以及任何实数c（尽管我们可以将其取代其他字段）。因此矩阵 A 作用于向量x并产生另一个向量y。 A x = y。
|a_11 a_12| |x_1| |y_2| |x_1 a_11 + x_2 a_12|
|a_21 a_22| |x_2| = |y_1| = |x_1 a_21 + x_2 a_22|
但是我们可以将矩阵视为由它的列组成的一组向量，这与
相同x_11 |a_11| + x_2*|a_12|
|a_22| |a_22|
因此，我们重新表达了矩阵在向量上的定义（m * n矩阵乘以n * 1矩阵）作为矩阵列的线性组合。
这使我们能够将矩阵与线性变换混淆。为了表示给定的线性变换 T ，作为矩阵，我们只将 T （e_i）放在矩阵的第i列中。将此矩阵称为 A_T 。然后 A_T x = x_1 T （e1）+ x_2 T （e2）+ ... + x_n T （EN）。但是通过 T 的线性，如果x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n，那么 T （x）= x_1 T （e_1）+ x_2 T （e_2）+ ... + x_n T （e_n）。但这正是我们之前为 A_T 所写的内容。因此，需要将矢量乘以矩阵的规律，以允许我们将线性变换表示为矩阵。
现在让我们考虑乘以一般矩阵。这里的想法是线性函数的组合，首先做 T _1然后做 T _2。对于某些向量x，这是 T _2（ T _1（x））。我们从上面知道我们可以将它们视为矩阵乘法。那是 A_T2 （ A_T1 x）。让我们从两个方面来看待它，因为其他任何东西都是自虐的，并且足以让所有想法得以实现。让我们将矩阵重新标记为 A_t2 = A 和 A_T1 = B 。然后我们有
A(B x) = |a_11 a_12| (|b_11 b_12| |x_1|)
|a_21 a_22| (|b_21 b_22| |x_2|)
= |a_11 a_12| |x_1 b_11 + x_2 b_12|
|a_21 a_22| |x_1 b_21 + x_2 b_22|
= |(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_11 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_12|
|(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_21 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_22|
= |x_1 (a_11 b_11 + a_12 b_21) + x_2 (a_11 b_12 + a_12 b_22)|
|x_1 (a_21 b_11 + a_22 b+21) + x_2 (a_21 b_12 + a_22 b_22)|
= |(a_11 b_11 + a_12 b_21) (a_11 b_12 + a_12 b_22)| |x1|
|(a_21 b_11 + a_22 b+21) (a_21 b_12 + a_22 b_22)| |x2|
这只是矩阵乘法。
PS。也许可能属于Math.SO，但我不投票结束，因为我回答。它也可能太基础了。
答案 1 :(得分：0)
它为矢量平面生成累积乘法结果。您可以操纵分类数据并获得线性变换的广义结果。 Concept example