找到中央二项式系数2n的优化程序选择n模（2n + 1）

Question

我试图找到满足两个条件的正整数n：

1. 2n + 1不是素数。
2. 2n选择n等于（-1）^ n模（2n + 1）

我检查了多达950000，只发现n = 2953。但是，此后它变得非常慢，因为我正在使用GMP计算二项式系数2n选择n，现在它的长度为几十万位数。由于我只对余数为2n + 1的二项式系数感兴趣，因此我觉得应该有一种更有效的方法，而不必实际计算二项式系数。我考虑过在每次乘法后取余数模2n + 1来防止数字变大，但是我不确定要怎么做，因为我需要计算n！的模乘逆，但是2n + 1不是素数，因此该逆数将不存在，并且我不确定如何表示2n时，通常选择n作为整数的乘积。任何想法，将不胜感激。我可能缺少一些非常简单的东西。

我的代码如下：

#include <iostream>
#include <gmp.h>

using namespace std;

int main()
{
  unsigned long long int n;
  int isprime=1;
  mpz_t a; // GMP long integer
  mpz_init(a); 
  for (n=1;n<=1000000;n++) {
    for (int i=2;i*i<=n;i++) { // testing if n is prime
    if ((2*n+1) % i == 0) {
      isprime=0;
      break;
    }
    }
    if (isprime == 0) { 
      mpz_bin_uiui(a,2*n,n); // Setting a equal to the binomial coefficient 2n choose n
      if (n % 2 == 0) { 
    mpz_sub_ui(a,a,1); // a-- if n is even
      }
      else {
    mpz_add_ui(a,a,1); // a++ if n is odd
      }
      mpz_cdiv_r_ui(a,a,2*n+1); // a = a % (2*n+1)
      if (mpz_cmp_ui(a,0)==0) {
    cout << n << endl;
      }
    }
    isprime=1;
  }
}