我有一种非常低效的方式来计算大小为N的数组中N/2个项目的组合。我要做的是对数组进行排序，然后遍历数组的排列，创建多集包含一半的元素，然后将其插入到集合中。最终我得到了集合的数量。
long GetCombinations(std::vector<double> nums) {
long combinations = 0;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::set<std::multiset<double>> super_set;
do {
std::multiset<double> multi_set;
for (unsigned int i = 0; i < nums.size() / 2; ++i)
multi_set.insert(nums[i]);
auto el = (super_set.insert(multi_set));
if (el.second)
++combinations;
} while (std::next_permutation(nums.begin(), nums.end()));
return combinations;
}
代码有效，但是效率很低。对于给定的数组[0.5, 0.5, 1, 1]，存在3个大小为2的组合：
0.5，0.5
1，1
1，0.5
是否有其他算法或方法可以提高此代码的速度？
答案 0 :(得分：2)
通常来说，确定特定集合的组合数非常简单。但是，将其扩展到每个元素重复特定次数的多集要困难得多，而且记录也不够。 @WorldSEnder链接到具有comment的数学/ stackexchange答案，并链接到Frank Ruskey撰写的这篇精彩的组合学文章Combinatorial Generation。如果您转到第71页，则有一个部分可以更严格地处理该主题。
{a, b}与{a, a, b}相同，都具有基数2 {a, b}和{a, a, b}是基数分别为2和3的不同多集。人们相信，有一个简单的公式可以快速计算长度为 k 的多集的组合数，其中每个元素重复特定的次数（请参阅高度评价的评论）以上）。下面，我们检查每种众所周知的方法。
让我们从二项式系数的一般应用开始。我们立即看到这将失败，因为严格来说，这是要计算集的组合数量，其中不允许重复的条目。在我们的情况下，允许重复。
在Wikipedia页面上进一步阅读，有一节称为Number of combinations with repetition。这看起来很有希望，因为我们确实有 some 复制。我们还看到了修正的二项式系数，这似乎更有希望。仔细研究发现，这也将失败，因为这严格适用于将每个元素重复最多 k 次的多集。
最后，我们尝试multiset coefficient。列出的示例之一与我们要完成的任务非常相似。
“首先，考虑表示{a，a，a，a，a，a，b，b，c，c，c，d，d，d，d，d，d，d的多重集的表示法}（6 as，2 bs，3 cs，7 ds）的形式：“
对于我们尝试得出的结果，这看起来像是一个很好的候选人。但是，您将看到，它们继续从由4个不同的元素构成的集合中构造基数多集18的方法数量增多。这等于长度为4的18个integer compositions的数量。例如
18 + 0 + 0 + 0
17 + 1 + 0 + 0
16 + 2 + 0 + 0
.
.
.
5 + 4 + 6 + 3
4 + 5 + 6 + 3
3 + 6 + 6 + 3
.
.
.
0 + 1 + 0 + 17
0 + 0 + 1 + 17
0 + 0 + 0 + 18
如您所见，订购与组成很重要，显然不适用于我们的情况。
最后提到的两种方法是从著名的Stars and Bars方法派生而来的，它可以对问题进行简单计数。据我所知，这种方法不能轻易扩展到我们的情况。
unsigned long int getCombinationCount(std::vector<double> nums) {
unsigned long int n = nums.size();
unsigned long int n2 = n / 2;
unsigned long int numUnique = 1;
unsigned long int numCombinations;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::vector<int> numReps;
double testVal = nums[0];
numReps.push_back(1);
for (std::size_t i = 1; i < n; ++i) {
if (nums[i] != testVal) {
numReps.push_back(1);
testVal = nums[i];
++numUnique;
} else {
++numReps[numUnique - 1];
}
}
int myMax, r = n2 + 1;
std::vector<double> triangleVec(r);
std::vector<double> temp(r);
double tempSum;
myMax = r;
if (myMax > numReps[0] + 1)
myMax = numReps[0] + 1;
for (int i = 0; i < myMax; ++i)
triangleVec[i] = 1;
temp = triangleVec;
for (std::size_t k = 1; k < numUnique; ++k) {
for (int i = n2; i > 0; --i) {
myMax = i - numReps[k];
if (myMax < 0)
myMax = 0;
tempSum = 0;
for (int j = myMax; j <= i; ++j)
tempSum += triangleVec[j];
temp[i] = tempSum;
}
triangleVec = temp;
}
numCombinations = (unsigned long int) triangleVec[n2];
return numCombinations;
}
传统Pascal's Triangle中的条目（从此处开始为PT）代表二项式系数，其中三角形的行是集合中元素的数量，列是您要生成的组合的长度。三角形的构造是我们如何解决眼前问题的关键。
如果您注意到对于传统PT，要获取特定条目，请说（i，j），其中 i 是行，而 j 是列，您必须添加条目（i-1，j-1）和（i-1，j）。这是一个例子。
1
1 1
1 2 1 N.B. The first 10 is in the 5th row and 3rd column
1 3 3 1 and is obtained by adding the entries from the
1 4 6 4 1 4th row and 2nd/3rd.
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
我们可以将其扩展到一个通用的多集，其中每个元素重复特定的次数。让我们考虑几个例子。
示例1：v1 = {1, 2, 2}，v2 = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和v3 = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}
下面，我们拥有v1 choose 1 - 3和v2 choose 1 - 6的所有可能组合。
[,1] [,1]
[1,] 1 [1,] 1
[2,] 2 [2,] 2
[3,] 3
[,1] [,2] [,1] [,2]
[1,] 1 2 [1,] 1 2
[2,] 2 2 [2,] 1 3
[3,] 2 2
[4,] 2 3
[5,] 3 3
[,1] [,2] [,3] [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 2 [1,] 1 2 2
[2,] 1 2 3
[3,] 1 3 3
[4,] 2 2 3
[5,] 2 3 3
[6,] 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 2 3
[2,] 1 2 3 3
[3,] 1 3 3 3
[4,] 2 2 3 3
[5,] 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 2 3 3
[2,] 1 2 3 3 3
[3,] 2 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 2 2 3 3 3
让我们写下v1和v2的所有 k 的组合数。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
我将为您提供v3的所有 k 的组合数量（我将留给读者枚举）。
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们以一种特殊的方式组合了上面的结果，并注意到事情开始变得非常熟悉。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们添加一些作为占位符以完成此修改的PT
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
这是什么意思？显然，每个连续行中的数字是前一行中数字的组合。但是如何？....
我们让每个元素的频率引导我们。
例如，要获取表示v2 choose 1 - 6的组合数的第三行（忽略第一个1），我们看一下第2行。由于第3个元素的频率为3，因此我们将4个元素相加（3 + 1 ..就像使用二项式系数来查找具有不同元素的集合的组合数一样，我们将2个条目加在一起或1 + 1）在上面的行中，列小于或等于我们要查找的列。所以我们有：
if the column index is non-positive or greater than the
number of columns in the previous row, the value is 0
v2 choose 3
(3, 2) = (2, 2 - 3) + (2, 2 - 2) + (2, 2 - 1) + (2, 2 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 2
= 3
v2 choose 4
(3, 3) = (2, 3 - 3) + (2, 3 - 2) + (2, 3 - 1) + (2, 3 - 0)
= 0 + 1 + 2 + 2
= 5
v2 choose 5
(3, 4) = (2, 4 - 3) + (2, 4 - 2) + (2, 4 - 1) + (2, 4 - 0)
= 1 + 2 + 2 + 1
= 6
v2 choose 6 outside of range
(3, 5) = (2, 5 - 3) + (2, 5 - 2) + (2, 5 - 1) + (2, 5 - 0)
= 2 + 2 + 1 + 0
= 5
etc.
继续此逻辑，让我们看看是否可以获得v3的 k 个组合的数量。由于第4个元素的频率为4，因此我们需要将5个条目加在一起。
v3 choose 3
(4, 2) = (3, 2 - 4) + (3, 2 - 3) + (3, 2 - 2) + (3, 2 - 1) + (3, 2 - 0)
= 0 + 0 + 0 + 1 + 3
= 4
v3 choose 4
(4, 3) = (3, 3 - 4) + (3, 3 - 3) + (3, 3 - 2) + (3, 3 - 1) + (3, 3 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 3 + 5
= 9
v3 choose 5
(4, 4) = (3, 4 - 4) + (3, 4 - 3) + (3, 4 - 2) + (3, 4 - 1) + (3, 4 - 0)
= 0 + 1 + 3 + 5 + 6
= 15
v3 choose 6
(4, 5) = (3, 5 - 4) + (3, 5 - 3) + (3, 5 - 2) + (3, 5 - 1) + (3, 5 - 0)
= 1 + 3 + 5 + 6 + 5
= 20
etc.
实际上，我们确实获得了正确数量的v3的 k 个组合。
示例2：z1 = {1,1,1,2}，z2 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3}和z3 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,4,4}
您会注意到，我们正在构造这些向量，以使每个连续的向量都包含先前的向量。我们这样做是为了能够正确构建我们的修改后的PT。这与传统的PT相似，在传统的PT中，每连续一行，我们只需在前一行添加一个数字即可。这些向量的修改后的PT为：
1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 3 5 7 8 8 7 5 3 1
1 4 9 15 20 23 23 20 15 9 4 1
让我们构造z2 choose 6和z3 choose 9来看看我们是否正确：
z2 choose 6
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 1 2 3 3
[2,] 1 1 1 3 3 3 This shows that we produce 7 combs
[3,] 1 1 2 3 3 3 just as predicted by our modified
[4,] 1 1 3 3 3 3 PT (i.e. entry (3, 6 + 1) = 7)
[5,] 1 2 3 3 3 3
[6,] 1 3 3 3 3 3
[7,] 2 3 3 3 3 3
z3 choose 9
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 1 1 1 2 3 3 3 3 3
[2,] 1 1 1 2 3 3 3 3 4
[3,] 1 1 1 2 3 3 3 4 4 This shows that we produce 9
[4,] 1 1 1 3 3 3 3 3 4 combs just as predicted by
[5,] 1 1 1 3 3 3 3 4 4 our modified PT (i.e. entry
[6,] 1 1 2 3 3 3 3 3 4 (4, 9 + 1) = 9)
[7,] 1 1 2 3 3 3 3 4 4
[8,] 1 1 3 3 3 3 3 4 4
[9,] 1 2 3 3 3 3 3 4 4
仅需快速注意一下，第一行占位符类似于传统PT的第二行（即1 1）。松散地说（请参阅代码以了解边缘情况），如果第一个元素的频率为 m ，则修改后的PT的第一行将包含 m +1 个。
从上面的两个示例中可以看到，修改后的PT基于特定的多集，因此不能一概而论。即使您考虑由相同的不同元素组成的某些基数的多集，修改后的PT也会有所不同。例如，多集a = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和b = {1, 1, 2, 2, 3, 3}分别生成以下修改的PT：
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
请注意，a choose 2 = 5而b choose 2 = 6。
这里是ideone的链接，展示了新算法的加速。对于向量{4, 2, 6, 4, 9, 8, 2, 4, 1, 1, 6, 9}，原始时间为2285718个时钟滴答，而以上算法在8个时钟滴答中完成，总速度为2285728 / 8 = 285714.75 ...快十万倍。它们都返回相同数量的组合（即122）。大部分速度增益来自避免显式生成任何组合（或OP的代码那样的排列）。