这是Codewars的一项任务，换句话说就像家庭作业一样。 :)
我必须编写一个函数，它返回1到n（包括）之间的数字量，可以表示为两个完美正方形的差值。例如，20 = 6² - 4²和21 = 5² - 2²。许多数字都可以这样写，但不是全部。
我编写了一个函数，它运行良好，但它需要能够处理n值45000。基本上我的代码在分析数千个数字时会崩溃。为了提高代码效率，我尝试将初始循环从n转换为0，而不是从0转换为n。我试图将n除以2，直到它变得足够小，然后再将最终结果乘以2，但是没有效果。我还使用了while循环，但后来我意识到我根本不知道如何解决这个问题，经过3天毫无意义的尝试用蛮力解决它之后，我正在寻求帮助我不想放弃它。这是我的代码
function countSquareable(n){
var y = []
var c = []
for (var i = 0; i <= n; i++) { // all numbers powered in range
y.push(Math.pow(i,2))
}
for(i = 0; i < y.length; i++) {
c.push(y.map(a => y[i]-a)) // all subtractions' combos
}
var d = c.toString().split(",").sort(function(a, b){return a-b}).filter(function(a) {return a>0 && a<=n}) // only the combos I need in the range
var a = [], b = [], prev; // remove duplicates
d.sort();
for ( var i = 0; i < d.length; i++ ) {
if ( d[i] !== prev ) {
a.push(d[i]);
b.push(1);
} else {
b[b.length-1]++;
}
prev = d[i];
}
return console.log(a.length) // end result
};
countSquareable(500)
countSquareable(4) // should return 3 and it works
countSquareable(5) // should return 4 and it works
countSquareable(40) // should return 30 and it works
countSquareable(45000) // should return 33750 but crashes
countSquareable(6427), // should return 4820 but crashes
如何使代码更有效地解决问题？ 卡塔是here。 谢谢！
答案 0 :(得分：1)
这可以用一小部分数学。
如果不是计算值，你可以列出它们，比如40个中的30个，你得到
[1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21,
23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40]
如果很难看到那里的图案，请尝试大声朗读。关键是这些组很容易就像
一样[ 1,
3, 4, 5,
7, 8, 9,
11, 12, 13,
15, 16, 17,
19, 20, 21,
23, 24, 25,
27, 28, 29,
31, 32, 33,
35, 36, 37,
39, 40, (41)]
换句话说，缺少每四个数字，从2开始。这是遵循该模式的代码：
const range = (lo, hi) => Array(...Array(hi - lo + 1)).map((_, n) => lo + n)
const countSquareable = (n) => range(1, n).filter(n => n % 4 !== 2).length
console.log(countSquareable(4))
console.log(countSquareable(5))
console.log(countSquareable(40))
console.log(countSquareable(45000))
所以它符合预期。但我们现在处于数学领域，所以我们需要证明一切。我们可以在三种情况下做到这一点：
n表示为正方形的差异吗？n是奇数让a = (n + 1) / 2，让b = (n - 1) / 2。
由于n是奇数，n - 1和n + 1是偶数，因此a和b都是整数。
a^2 = (n^2 + 2n + 1) / 4
b^2 = (n^2 - 2n + 1) / 4
所以
a^2 - b^2 = 4n / 4 = n
因此，奇数可以表示为平方差。
让a = (n / 4 + 1)，让b = (n / 4 - 1)
由于n可被4整除，(n / 4) is an integer and thus一个and b`是整数。
现在
a^2 = (n^2/16 + 2n/4 + 1)
b^2 = (n^2/16 - 2n/4 + 1)
和
a^2 - b^2 = 4n/4 = n
因此，4的倍数可以表示为平方差。
我们可以通过这种方式划分整数：(4n), (4n + 1), (4n + 2), (4n + 3)。
对每一项进行平方，然后选择合适的k：
(4n)^2 = 16n^2 = 4 * 4n^2 = (4k)
(4n + 1)^2 = (16n^2 + 8n + 1) = 4(4n^2 + 2n) + 1, = (4k + 1)
(4n + 2)^2 = (16n^2 + 16n + 4) = 4(4n^2 + 4n + 1) = (4k)
(4n + 3)^2 = (16n^2 + 24n + 9) = 4(4n^2 + 6n + 2) + 1 = (4k + 1)
因此，将正方形除以4时唯一可能的余数是0和1。
减去这些，我们得到(1 - 0) = 1，(1 - 1) = 0，(0 - 0) = 0，(0 - 1) = -1（这最后一个与3：4k - 1 = 4（k）的余数相同-1）+ 3。）
因此，我们可以获得0，1或3的余数。但我们无法得到2。
因此，2的倍数不是4的倍数，不能表示为正方形的差异。
Q.E.D。我们已经证明我们的直觉是正确的：任何整数都可以写成正方形的差异，除了那些是2的倍数而不是4的倍数。
我的原始代码是一种蛮力的方法，注意到a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b)，因此较小的因子（(a - b)）必须小于我们的顶部数字的平方根，如果产品将是小于n。然后，我尝试了b的所有可能值，如果它小于(a^2 - b^2)则保存n。这对45000案例来说足够有效。但它错过了上面的分析。
无论如何，这是版本：
const countSquareable = (n) => {
const found = new Set()
// a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), so (a - b) can be no larger than sqrt(n)
const topDiff = Math.sqrt(n)
for (let diff = 1; diff <= topDiff; diff++) {
const topB = n / 2 // can we get a tighter bound here?
for (let b = 0; b < topB; b++) {
let a = b + diff
const val = (a * a) - (b * b)
if (val <= n) {
found.add(val)
}
}
}
//console.log([...found].sort((a, b) => a - b))
return found.size
}
console.log(countSquareable(45000))