Question

假设某个事件的概率 P成功。 (0 < P < 1 ) 我必须进行N测试，看看是否会发生这种情况，我想要成功的总数：

我可以去

int countSuccesses = 0;
while(N-- > 0)
{
   if(Random.NextDouble()<P) countSuccesses++; // NextDouble is from 0.0 to 1.0
}

但有没有更有效的方法呢？我想要一个公式，所以我可以使用一个draw ~~随机数~~来确定成功的总数。（编辑仅使用一次抽奖的想法是低于O（n））

我希望能够调用方法

GetSuccesses( n, P)

它是O（1）

更新
我会试着去 MathNet.Numerics.Distributions.Binomial.Sample(P, n) 即使它可能只使用了一个随机数，但我猜它会比O(n)更快，即使它不是O(1)。我会对此进行基准测试。非常感谢David和Rici。

更新
上面的二项式样本是O（n）所以它对我没有帮助。但是由于弗雷德的评论，我刚刚切换到了 MathNet.Numerics.Distributions.Normal.Sample(mean, stddev) 其中
mean = n * P
stddev = Math.Sqrt(n * P * (1 - P)); 现在是O(1)！

Answer 1

对于小N，每个@rici你可以使用二项分布的CDF或PMF，并简单地将随机输入与0,1,2..N成功的概率进行比较。

类似的东西：

  static void Main(string[] args)
    {

        var trials = 10;
        var trialProbability = 0.25;
        for (double p = 0;  p <= 1; p += 0.01)
        {
            var i = GetSuccesses(trials, trialProbability, p);
            Console.WriteLine($"{i} Successes out of {trials} with P={trialProbability} at {p}");
        }
        Console.ReadKey();

    }
    static int GetSuccesses(int N, double P, double rand)
    {
        for (int i = 0; i <= N; i++)
        {
            var p_of_i_successes = MathNet.Numerics.Distributions.Binomial.PMF(P, N, i);
            if (p_of_i_successes >= rand)
                return i;

            rand -= p_of_i_successes;

        }
        return N;


    }

Answer 2

我不打算在这里写公式，因为它已经在wiki中了，而且我不太清楚这些事情的格式。

每个结果的概率可以通过Bernulli公式确定 https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial

你需要做的是计算二项式系数，然后概率计算变得非常容易 - 将二项式系数乘以p和q的适当幂。填写数组P [0..n]，其中包含每个结果的概率 - 完全成功的数量。

设置后从0到n并计算概率的滚动总和。检查下限/上限与随机值，一旦在当前时间间隔内，返回结果。

因此，决定部分将是这样的：

sum=0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
  if (sum-eps < R && sum+P[i]+eps > R)
    return i;
  else
    sum+=P[i];

这里eps是小浮点值以克服浮点舍入问题，R是保存的随机值，P是我之前提到的概率数组。

不幸的是，这种方法对于大N（20或100 +）不实用：

你会对舍入错误产生很大的影响
随机数生成器可能不具有足够的确定性，无法通过适当的概率分布来涵盖所有可能的结果

Answer 3

根据你如何表达问题，这是不可能做到的。

你基本上是在询问如何确保单个硬币翻转（即一个随机化结果）正好是50％的头部和50％的尾部，这是不可能的。

即使你要使用两个随机数，你期望一个头和一个尾巴;在所有情况下，这个测试都会失败50％（因为你可能得到两个头或两个尾巴）。

Probablility建立在the law of large numbers之上。这明确指出，不能期望小样本准确反映预期结果。

LLN很重要，因为它可以保证一些随机事件平均值的长期稳定结果。例如，虽然赌场可能会在轮盘赌的单轮旋转中亏损，但其盈利将在大量旋转中趋于可预测的百分比。任何玩家的连胜最终都会被游戏的参数所克服。重要的是要记住，当考虑大量观察时，法律仅适用（如名称所示）。 没有原则，少数观察会与预期值重合，或者一个值的连续性会立即被其他值“平衡”（参见赌徒的谬误）。

当我问这个评论时;你回答说：

@Flater不，我正在进行N次实际抽签，但只有一个随机数。

但这没有意义。如果你只使用一个随机值，并继续使用相同的值，那么每次抽取显然会给你完全相同的结果（相同的数字）。

我能以一种并非不可能的方式解释你的问题，那就是你错误地将单个random seed称为单个随机数。

随机种子（或种子状态，或仅种子）是用于初始化伪随机数生成器的数字（或向量）。

对于要在伪随机数生成器中使用的种子，它不需要是随机的。由于数字生成算法的性质，只要忽略原始种子，算法生成的其余值将以伪随机方式遵循概率分布。

但是，您明确提到的期望似乎反驳了这一假设。你想做类似的事情：

GetSuccesses( n, P, Random.NextDouble())

并且你也希望得到一个O(1)操作，这个操作面对大数定律。

如果你真的在谈论有一个随机种子;那么你的期望是不正确的。

如果进行N次绘制，则操作的复杂度仍为O(N)。无论你是否在每次抽奖后随机化种子都是无关紧要的，它总是O(N)。
GetSuccesses( n, P, Random.NextDouble())将为您提供一次抽奖，而非一粒种子。无论使用何种术语，您对代码的期望与使用相同种子进行多次绘制无关。

目前的问题是措辞;你想要的是不可能的。一些评论者的反复意见澄清尚未产生更清晰的图景。

作为旁注，我发现你回答每个评论除了直接询问你是在谈论种子而不是数字（现在两次）时，我觉得很奇怪。

Answer 4

@David and @rici向我指出了 MathNet.Numerics.Distributions.Binomial.Sample(P, n)
一个基准测试告诉我它也是O(n)并与我原来的

相提并论

int countSuccesses = 0;
while(N-- > 0)
{
   if(Random.NextDouble()<P) countSuccesses++; // NextDouble is from 0.0 to 1.0
}

但感谢Fred做的评论：

您可以将该随机数转换为具有均值N * P的高斯样本，其与您的初始函数具有相同的分布

我刚转到了 MathNet.Numerics.Distributions.Normal.Sample(mean, stddev) 其中
mean = n * P
stddev = Math.Sqrt(n * P * (1 - P)); 现在是O(1)！

我想要的功能是：

    private int GetSuccesses(double p, int n)
    {
        double mean = n * p;
        double stddev = Math.Sqrt(n * p * (1 - p));
        double hits = MathNet.Numerics.Distributions.Normal.Sample(Random, mean, stddev);
        return (int)Math.Round(hits, 0);
    }

保罗指出，这是一个近似值，但我很乐意接受。

如何有效地进行一些随机试验？

4 个答案: