Question

我在维基百科log 2²⁴ = 7.22中看到了这一点。

我不知道为什么我们应该计算2 ^ 24以及为什么我们应该使用log10 ......我真的需要你的帮助。

Answer 1

为什么浮点数的有效数字是7或6（？）

考虑使用Pigeonhole principle的一些想法：

binary32 float可以编码大约2 ³²不同的数字完全。即使我们将自己限制在-10 ³⁸ ... +10 ^{38 。任何时间代码都有0.1f等文本值，它会被编码到附近的float，这可能不是完全相同的文本值。问题是：我们可以编码多少位数并仍保持独特float？}
对于各种2的幂范围，2 ²³（8,388,608）值通常线性编码。
在[1.0 ... 2.0]范围内，2 ²³（8,388,608）值线性编码。
在[2 ³³或8,589,934,592 ... 2 ³⁴或17,179,869,184）范围内，同样，2 ²³（8,388,608）值为线性编码：1024.0彼此分开。在子范围[9,000,000,000和10,000,000,000]中，大约有976,562个不同的值。

把它放在一起......

作为文本，范围[1.000_000 ... 2.000_000），使用1个引导数字和6个跟踪数字，有1,000,000个不同的值。每＃3，在相同的范围内，存在8,388,608个不同的float，允许每个文本值映射到不同的float。 在此范围内，我们可以使用7位。
作为文本，范围[9,000,000 * 10 ³和10,000,000 * 10 ³），使用1个引导数字和6个跟踪数字，有1,000,000个不同值。每＃4，在相同的范围内，有不到1,000,000个不同的float值。因此，一些十进制文本值将转换为相同的float。 在此范围内，我们可以使用6位数字，而不是7位进行特殊转换。

典型float更糟糕的情况是 6位有效数字。要查找您的 float的限制：

#include <float.h>
printf("FLT_DIG = %d\n", FLT_DIG);  // this commonly prints 6

......不知道为什么我们应该计算2 ^ 24以及我们为什么要采用log10

2 ^ 24是一个泛化，与普通float及其24位二进制精度一样，对应于具有7.22的幻想十进制系统...数字。我们使用 log10 将二进制 float与十进制文本进行比较。

2 ²⁴ == 10 ^{7.22 ...}

然而，我们应该不采取2 ²⁴。让我们看看如何从C11dr§5.2.4.2.2中定义FLT_DIG 11：

小数位数， q ，这样任何带有 q 十进制数字的浮点数都可以用 p <舍入为浮点数/ em> radix b 数字并再次返回而不更改 q 十进制数字，

p log ₁₀ b .............如果b是10的幂/>   ⎣（ p - 1）log ₁₀ b ⎦..否则

注意“log ₁₀ 2 ²⁴”与“24 log ₁₀ 2”相同。

作为float，值在2的幂之间以线性分布，如＃2,3,4所示。

作为 text ，值在10的幂之间以线性分布，如7个有效数字值[1.000000 ... 9.999999] * 10 ^{some_exponent}

这两组的转变发生在不同的值。 1,2,4,8,16,32 ...与1,10,100，......在确定最坏情况时，我们从24位中减去1以解决错位。

⎣（ p - 1）log ₁₀ b ⎦ - ＆gt; floor((24 − 1) log10(2)) - ＆gt; floor(6.923...) - ＆gt; 6。

如果我们的float使用了基数10,100或1000，而不是非常常见的2，则这两组的转换发生在相同的值，我们不会减去一个。

Answer 2

IEEE 754 single-precision float有一个24位的尾数。这意味着它有24个二进制位的精确度。

但我们可能有兴趣知道它有多少十进制数字的精确度。

计算它的一种方法是考虑有多少24位二进制数。答案当然是2 ²⁴。所以这些二进制数从0到16777215。

那是多少位十进制数？好吧，log10给出了小数位数。 log10（2 ²⁴）是7.2，或者略多于7位小数。

看一下：16777215有8位数，但前导数字只有1，所以实际上只有7位数。

（当然这并不意味着我们只能代表0到16777215之间的数字！这意味着我们可以代表0到16777215 的数字。但我们也有代表玩我们可以将0到1677721.5之间的数字或多或少精确地表示到小数点后的一个地方，数字从0到167772.15或多或少精确到两个小数点等等。我们可以表示0到167772150之间的数字，或者0到0 1677721500，但逐渐不那么精确 - 总是有~7位数的精度，这意味着我们开始将低位数字的精度丢失到小数点的 left 。）

另一种方法是注意log10（2）约为0.3。这意味着1位对应于约0.3个十进制数字。所以24位对应24×0.3 = 7.2。

（实际上，IEEE 754单精度浮点只显式地存储了23位，而不是24位。但是那里有一个隐含的前导1位，所以我们确实得到了24位的效果。）

Answer 3

让我们开始小一些。使用10位（或10个基数2位数），您可以将数字0表示为1023.因此，对于某些值，您最多可以表示4位数，但对于大多数其他值（1000以下的数字），最多可以表示3位数。

要找出一堆基数为2位（位）可以表示多少个10（十进制）数，你可以使用最大可表示值的log10（），即log10（2 ^ 10） = log10（2）* 10 = 3.01 ....

以上意味着您可以表示所有3位数或更小值 - 以及几个4位数值。嗯，这很容易验证：0-999最多有3位数，1000-1023有4位数。

现在需要24位。在24位中，您可以存储log10（2 ^ 24）= 24 * log（2）基数为10的数字。但由于顶部位始终相同，实际上只能存储log10（2 ^ 23）= log10（8388608）= 6.92。这意味着您可以代表大多数7位数字，但不是全部。您可以忠实代表的一些数字只能有6位数。

事实上，事实有点复杂，因为指数也起作用，而且许多可能更大的值中的一些也可以表示，因此6.92可能不是确切的值。但它很接近，可以很好地作为一个经验法则，这就是为什么他们说单精度可以代表6到7位数。

为什么浮点数的有效数字是7或6

3 个答案: