Question

我试图熟悉Coq中的子集类型，而且我遇到过一种我不知道如何继续操作的用例。考虑一个期望自然数大于2的函数，以及另一个期望自然数大于2且小于10的函数。在后一个函数中，我想调用前者，这应该是可能的，但它似乎我必须做一些事情，使其类型适合功能应用。这就是我想要做的事情：

Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) := (proj1_sig i) + 1.
Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10 (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) := add_one_if_gt_2 i.

add_one_if_gt_2_and_lt_10中缺少哪些东西来进行类型检查？通常，对于可能兼容的更复杂的子集类型，通常的方法是什么？

此外，我在子集类型规范中使用i1以防万一，但是如果我使用i它似乎也有效，尽管我不知道是否有＆{1}}由于参数名称也是i，因此存在任何潜在问题。使用i两个变量会有问题吗？

Answer 1

一种可能性是使用Program功能：

Require Import Program.

Program Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) :=
  i + 1.
Program Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10
  (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) :=
add_one_if_gt_2 i.

如果您单步执行此代码，您会注意到系统正在生成有关“义务”的消息 - 但在此示例中，所有义务都很简单，系统可以自行解决这些义务，以及定义马上完成了。（在这种情况下，第二个定义产生的义务是i > 2 /\ i < 10暗示i > 2。）

在其他无法轻易解决义务的情况下，您可能会获得待定义务。在这种情况下，您可以使用诸如Next Obligation.之类的Gallina指令进入证明模式并自行证明。（有关更多信息，请参阅Coq文档的相应章节。）

Answer 2

您可以手动执行此操作，因为它不难破坏{i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}类型的术语，该术语基本上是nat（i1）和两个样张的三倍：{ {1}}和i1 > 2。我们要做的是破坏这个三元组，丢弃第三个组件并将其重新打包成i2 < 10类型的术语，这是一对：

{i1 : nat | i1 > 2}

我们也可以通过预测来做到这一点：

Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) :=
  S (proj1_sig i).

Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10 (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) :=
  let '(exist _ i1 (conj i1_gt2 _)) := i in
  add_one_if_gt_2 (exist _ i1 i1_gt2).

另一种方法是在您的特殊情况下使用Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10' (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) := add_one_if_gt_2 (exist _ (proj1_sig i) (proj1 (proj2_sig i))).类型：

sig2

使用强制机制，您可以将上述定义简化为：

Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10_sig2 (i : {i1 : nat | i1 > 2 & i1 < 10}) :=
  add_one_if_gt_2 (sig_of_sig2 i).

这正是您尝试应用的解决方案！

如果你不熟悉强制：如果遇到可以修补的类型错误，这个机制会自动插入Coercion sig_of_sig2 : sig2 >-> sig. Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10_sig2' (i : {i1 : nat | i1 > 2 & i1 < 10}) := add_one_if_gt_2 i.（或其他一些合适的强制）。

使子集类型与功能应用程序兼容

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