Question

我正在阅读Idris tutorial。我无法理解以下代码。

disjoint : (n : Nat) -> Z = S n -> Void
disjoint n p = replace {P = disjointTy} p ()
  where
    disjointTy : Nat -> Type
    disjointTy Z = () 
    disjointTy (S k) = Void

到目前为止，我发现的是...... Void是空类型，用于证明某些事情是不可能的。

替换：（x = y） - ＆gt; P x - ＆gt; P y replace使用等式证明来转换谓词。

我的问题是：

哪一个是平等证据？（Z = S n）？
哪一个是谓词？ disjointTy功能？
disjointTy的目的是什么？ disjointTy Z =（）表示Z在一个类型“land”（）和（S k）在另一个土地Void？
Void输出以什么方式表示矛盾？

聚苯乙烯。我所知道的证明是“所有事情都没有匹配，那就是假的。”或者“发现一件相互矛盾的事情”......

Answer 1

哪一个是平等证据？（Z = S n）？

p参数是此处的相等证明。 p的类型为Z = S n。

哪一个是谓词？ disjointTy函数？

是的，你是对的。

disjointTy的目的是什么？

让我在此重复disjointTy的定义：

disjointTy : Nat -> Type
disjointTy Z = ()
disjointTy (S k) = Void

disjointTy的目的是谓词replace函数需要。这种考虑决定了disjointTy的类型，即。 [domain] -> Type。由于我们在自然数之间具有相等性，[domain]为Nat。

要了解身体是如何构建的，我们需要再看一遍replace：

replace : (x = y) -> P x -> P y

回想一下，我们p为Z = S n，因此上述类型的x为Z，y为S n。要致电replace，我们需要构建P x类型的术语，即P Z。这意味着类型P Z返回必须易于构造，例如单位类型是理想的候选者。我们已经证明了disjointTy Z = ()定义的disjointTy条款。当然，它不是唯一的选择，我们可以使用任何其他有人居住（非空）类型，如Bool或Nat等。

disjointTy第二个子句中的返回值现在很明显 - 我们希望replace返回Void类型的值，因此P (S n)必须为{ {1}}。

接下来，我们像这样使用Void：

disjointTy

作为奖励，这是另一种证明：

replace   {P = disjointTy}   p    ()
           ^                 ^    ^
           |                 |    |
           |                 |    the value of `()` type
           |                 |
           |                 proof term of Z = S n 
           |
           we are saying "this is the predicate"

我使用了disjoint : (n : Nat) -> Z = S n -> Void disjoint n p = replace {P = disjointTy} p False where disjointTy : Nat -> Type disjointTy Z = Bool disjointTy (S k) = Void，但可以使用False - 这并不重要。重要的是我们能够构建True类型的术语。

Void输出以什么方式表示矛盾？

disjointTy Z的定义如下：

Void

它没有构造函数！无论如何都无法创建这种类型的术语（在某些条件下：像Idris＆＃39;实现是正确的，Idris的基本逻辑是理智的等等）。因此，如果某些函数声称它可以返回data Void : Type where类型的术语，那么必定会有一些可疑的东西。我们的函数说：如果你给我一个Void的证明，我将返回一个空类型的术语。这意味着Z = S n无法首先构建，因为它会导致矛盾。

Answer 2

是的，p : x = y是一个相等的证据。所以p是一个相等证明，Z = S k是一个相等类型。
同样是，通常任何P : a -> Type都称为谓词，如IsSucc : Nat -> Type。在布尔逻辑中，谓词会将Nat映射为true或false。如果我们可以为它构建证明，那么谓词就成立了。如果我们能够构建它（prf : ItIsSucc 4），那就确实如此。如果我们不能构建它（没有ItIsSucc Z的成员），那就错了。
最后，我们想要Void。阅读replace来电Z = S k -> disjointTy Z -> disjointTy (S k)，即Z = S K -> () -> Void。因此，替换需要两个参数：证明p : Z = S k和单位() : ()，而且，我们有一个空白。顺便说一句，您可以使用您可以构建的任何类型，而不是()，例如disjointTy Z = Nat然后使用Z代替()。
在依赖型理论中，我们构建了像prf : IsSucc 4这样的证明。我们会说，我们有prf证明IsSucc 4是真的。 prf也被称为IsSucc 4的见证人。但仅凭这一点，我们才能证明事情是真的。这是Void：
的定义
data Void : Type where

没有构造函数。因此，我们无法构建Void所持有的证人。如果你以某种方式得到了prf : Void，那么就会出现问题并且你有一个矛盾。

伊德里斯的定理证明

2 个答案: