Question

任务：

  埃里克飞有一个朋友，厄尼。假设两只苍蝇坐在独立的位置，均匀分布在地球表面。设D表示埃里克和厄尼之间的欧几里德距离（即穿过地球内部的直线）。

猜测D的概率密度函数并给出一个   估计其预期值E（D）。

到目前为止，我已经完成了在地球表面生成两个点的功能，但我不确定下一步该做什么：

sample3d <- function(2)
  {
  df <- data.frame()
  while(n > 0){
    x <- runif(1,-1,1)
    y <- runif(1,-1,1)
    z <- runif(1,-1,1)
    r <- x^2 + y^2 + z^2
    if (r < 1){
      u <- sqrt(x^2+y^2+z^2)
      vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u)
      df <- rbind(vector,df)
      n = n- 1
    }
  }
  df
}
E <- sample3d(2)

Answer 1

这是一个有趣的问题。我将概述一种计算方法;我会把数学留给你。

首先我们修复随机种子以获得再现性。
```
set.seed(2018);
```

我们从单位球体表面采样10^4点。

sample3d <- function(n = 100) {
  df <- data.frame();
  while(n > 0) {
    x <- runif(1,-1,1)
    y <- runif(1,-1,1)
    z <- runif(1,-1,1)
    r <- x^2 + y^2 + z^2
    if (r < 1) {
      u <- sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
      vector = data.frame(x = x/u,y = y/u, z = z/u)
      df <- rbind(vector,df)
      n = n- 1
    }
  }
  df
}
df <- sample3d(10^4);

请注意，sample3d效率不高，但这是一个不同的问题。

我们现在从df中随机抽取2个点，计算这两个点之间的欧几里德距离（使用dist），并重复此过程N = 10^4次。
```
# Sample 2 points randomly from df, repeat N times
N <- 10^4;
dist <- replicate(N, dist(df[sample(1:nrow(df), 2), ]));
```
正如@JosephWood所指出的，数字N = 10^4有点武断。我们使用bootstrap来推导经验分布。对于N -> infinity，可以证明经验引导分布与（未知）种群分布（Bootstrap定理）相同。经验和人口分布之间的误差项是1/sqrt(N)的顺序，因此N = 10^4应该导致1％左右的误差。

我们可以将得到的概率分布绘制为直方图：

# Let's plot the distribution
ggplot(data.frame(x = dist), aes(x)) + geom_histogram(bins = 50);

最后，我们可以得到平均值和中位数的经验估计值。

# Mean
mean(dist);
#[1] 1.333021

# Median
median(dist);
#[1] 1.41602

这些值接近理论值：

mean.th = 4/3
median.th = sqrt(2)

如何在r中生成概率密度函数和期望？

1 个答案: