Question

我在这里寻找整数解决方案。我知道它有从第一对解和gcd（a，b）| c得到的无限多解。但是，我们怎样才能找到第一对解决方案？有没有算法来解决这个问题？

谢谢，
陈

Answer 1

请注意，并不总是有解决方案。事实上，如果c是gcd(a, b)的倍数，则只有一个解决方案。

也就是说，您可以使用extended euclidean algorithm来实现此目的。

这是一个实现它的C ++函数，假设为c = gcd(a, b)。我更喜欢使用递归算法：

function extended_gcd(a, b)
    if a mod b = 0
        return {0, 1}
    else
        {x, y} := extended_gcd(b, a mod b)
        return {y, x-(y*(a div b))}

int ExtendedGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (a % b == 0)
    {
        x = 0;
        y = 1;
        return b;
    }

    int newx, newy;
    int ret = ExtendedGcd(b, a % b, newx, newy);

    x = newy;
    y = newx - newy * (a / b);
    return ret;
}

现在，如果您c = k*gcd(a, b) k > 0，则等式变为：

ax + by = k*gcd(a, b) (1)
(a / k)x + (b / k)y = gcd(a, b) (2)

所以，只需找到（2）的解决方案，或者找到（1）的解决方案，然后将x和y乘以k。

什么算法用于求解线性丢番图方程：ax + by = c

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