Question

我正在研究算法 - 时间复杂度和递归。我实际上可以解决递归问题，因为这是简单的数学运算。但代码部分是问题所在。

例如，这是我带来的问题： https://brilliant.org/practice/big-o-notation/?problem=complexityrun-time-analysis-2-2

public int P(int x , int n){
    if (n == 0){
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1){
        int y = P(x, (n - 1) / 2);
        return x * y * y;
    }
    else{
        int y = P(x, n / 2);
        return y * y;               
    }
}

这是一个简单的电源功能。 T（n）= O（g（n））这个函数的运行时间很大，我必须找到它。

解决方案说， “当功率为奇数时，执行额外的乘法运算。为了计算时间复杂度，让我们首先看一下最糟糕的情况，这意味着让我们假设需要一个额外的乘法运算。“

但是，我不明白下一部分，解决方案说： 递归关系是

T(n) = T(n/2) + 3, T(1)=1

1）为什么常数第3部分？

if (n % 2 == 1){
        int y = P(x, (n - 1) / 2);
        return x * y * y;
    }

2）我实际上并不确切地知道为什么T（1）= 1。 我很困惑.. 在计算时间复杂度时我们应该考虑哪些操作？

例如，T（1）= 1部分必须与

相关

if (n == 0){
        return 1;
    }
if (n % 2 == 1){
        int y = P(x, (n - 1) / 2);
        return x * y * y;
    }

这一部分和我想问一下T（1）= 1是否来自if语句/ assign语句/ return语句..

之后我理解，解决了上面的递归关系，但我坚持使用递归关系本身。

请帮助我算法大师 s ..

Answer 1

在计算时间复杂度时我们应该考虑哪些操作？

答案会让你失望：你算什么操作并不重要。这就是我们在分析算法和表达时间/内存要求时使用big-Oh的原因。它是一种渐近符号，描述了对于大的n值，算法会发生什么。通过Big-Oh的定义，我们可以说1 / 2n ^ 2和10n ^ 2 + 6n + 100都是O（n ^ 2），即使它们不是相同的函数。计算所有操作，只会增加一些不变因素，这就是为什么你认为哪些操作并不重要。

通过上述，常数只是O（1）。这忽略了细节，例如10和10000都是O（1）。

有人可能会争辩说，指定表达式T(n) = T(n/2) + 3中的确切操作数不是很正确，因为没有操作定义的定义，而且相同的操作可能需要不同的时间。不同的计算机，所以准确地计算操作的数量在最好的情况下有点无意义，在最坏的情况下完全错误。更好的说法是T(n) = T(n/2) + O(1)。

T(1)=1表示基本情况，它以恒定时间求解（读取：每次运算的常数）。同样，更好（更正式）的说法是T(1)=O(1)。

在计算时间复杂度时，“要考虑的操作”（例如，If，return，assign ..）

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