我有一个问题，我认为可以转换为。的变体 fractional knapsack问题。
目标函数的形式为：
$ \ sum_ {i} x_iv_i $
但是，我的问题不同之处在于它允许$ v_i $ s和$ x_i $为负数。
我想证明这个问题可以使用贪心算法解决（在链接中解释）。
我已经为许多测试用例测试了这个，贪婪的算法似乎解决了它，但我想要明确 证明贪婪算法在额外约束下仍然适用。
答案 0 :(得分：0)
在小背包问题中，您会找到可放入背包的每个物品的价值/重量，并将这些物品从最佳的V / W比率到最差的W / W比率进行排序。然后，从最佳比率开始，将背包装满，或者用完。如果用完了，则转到列表中的下一个项目，并在背包中填充它。这种模式一直持续到背包装满为止。这很贪婪，因为一旦我们对列表进行排序，我们便知道可以放心地按此顺序添加项目，并且最终将获得包中最大的潜在价值。
通过允许值和“权重”为负，如在此问题中一样，但是，该算法不再贪婪。物品可能具有负的“重量”和负值，从而导致正的V / W比，这使事实毁于一旦。例如，采用以下项目列表：
在贪婪算法之后，我们希望添加与现有项一样多的项，因为它具有最佳的V / W比。但是，从长远来看，添加第1项确实会伤害我们，因为我们失去的每重量值会增加，因此以后可以添加。例如，假设每个| W | = 10，背包的最大重量为10。通过将所有数值加1，我们将得到-10的权重和-10的值。然后我们将所有2相加，结果权重为0，值为-1。然后，我们将3全部加起来，得出权重10，值为7。
如果相反，我们只是从一开始就添加了第2个项目，则权重为10，值为9。因此，矛盾的是，如果权重和值可以为负，则该算法不是贪婪的算法。