如何计算有向图中的所有可到达节点？

Question

有一个有向图（可能包含循环），每个节点上都有一个值，我们怎么能得到每个节点的可达值之和。例如，在下图中：

节点1的可达和为：2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

节点2的可达和为：4 + 5 + 6 + 7 = 22

.....

我的解决方案：为了获得所有节点的总和，我认为时间复杂度为O（n + m），n是节点数，m代表边数。应该使用DFS，对于每个节点，我们应该递归地使用一个方法来找到它的子节点，并在完成计算时保存子节点的总和，这样以后我们就不需要再次计算它了。需要为每个节点创建一个集合，以避免由循环引起的无限计算。

有用吗？我不认为它足够优雅，特别是必须创建许多套装。有没有更好的解决方案？感谢。

Answer 1

这可以通过首先找到Strongly Connected Components (SCC)来完成，这可以在O(|V|+|E|)中完成。然后，为SCC构建一个新图形G'（每个SCC是图中的一个节点），其中每个节点的值都是该SCC中节点的总和。

形式上，

G' = (V',E')
Where V' = {U1, U2, ..., Uk | U_i is a SCC of the graph G}
E' = {(U_i,U_j) | there is node u_i in U_i and u_j in U_j such that (u_i,u_j) is in E }

然后，此图（G'）是DAG，问题变得更简单，似乎是question linked in comments的变体。

针对此问题的DP解决方案（DAG）可以是：

D[i] = value(i) + sum {D[j] | (i,j) is an edge in G' }

这可以在线性时间内计算（在DAG的topological sort之后）。

伪代码：

1. 查找SCC
2. Build G'
3. 拓扑排序G'
4. 为G'
中的每个节点找到D [i]
5. 为U_i中的所有节点u_i应用值，对于每个U_i。

总时间为O(|V|+|E|)。

Answer 2

您可以使用DFS或BFS算法来解决您的问题。 两者都有复杂性O(V + E)

您不必计算所有节点的所有值。你不需要递归。 做这样的事。

通常DFS看起来像这样。

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list

在你的情况下你必须添加一些行

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
float sum = 0
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    sum += v->value
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list