我首先可以获得给定大小的DFT矩阵,比如说n
import numpy as np
n = 64
D = np.fft.fft(np.eye(n))
FFT当然只是将D
应用于矢量的快速算法:
x = np.random.randn(n)
ft1 = np.dot(D,x)
print( np.abs(ft1 - fft.fft(x)).max() )
# prints near double precision roundoff
可以通过将D
应用于矩阵的行和列来获得2D FFT:
x = np.random.randn(n,n)
ft2 = np.dot(x, D.T) # Apply D to rows.
ft2 = np.dot(D, ft2) # Apply D to cols.
print( np.abs(ft2 - fft.fft2(x)).max() )
# near machine round off again
如何对三维离散傅里叶变换进行类似的计算?
即,
x = np.random.randn(n,n,n)
ft3 = # dot operations using D and x
print( np.abs(ft3 - fft.fftn(x)).max() )
# prints near zero
基本上,我认为我需要将D
应用于卷中的每个列向量,然后应用卷中的每个行向量,最后是每个“深度向量”。但我不确定如何使用dot
来完成此操作。
答案 0 :(得分:6)
您可以使用einsum
表达式对每个索引执行转换:
x = np.random.randn(n, n, n)
ft3 = np.einsum('ijk,im->mjk', x, D)
ft3 = np.einsum('ijk,jm->imk', ft3, D)
ft3 = np.einsum('ijk,km->ijm', ft3, D)
print(np.abs(ft3 - np.fft.fftn(x)).max())
1.25571216554e-12
这也可以写成一个NumPy步骤:
ft3 = np.einsum('ijk,im,jn,kl->mnl', ft3, D, D, D, optimize=True)
如果没有optimize参数(在NumPy 1.12+中可用),它将会非常慢。您也可以使用dot
执行每个步骤,但需要进行一些重新整形和转置。在NumPy 1.14+中,einsum
函数将自动检测BLAS操作并为您执行此操作。