和1 / i的渐近符号

Question

的渐近符号是什么？

即

sum_(i = 1)^n (1 / i)

首先，这不是作业。其次，由于没有公式来计算分数，我不知道如何用n表达这个求和并获得渐近符号。

可能是Theta(n)，但我不确定。

Answer 1

你的表达

sum_(i = 1)^n (1 / i)

是n-th harmonic number。

来自维基百科的文章：

  

n-th 谐波次数与n的自然对数大约相同 。原因是总和近似 积分：

     

int_1^n (1 / x) dx

     

，其值为ln(n)。

他们还给出了这个显示相关性的漂亮图像：

所以它是Theta(log n)。

有关详细信息，请参阅Finding Big O of the Harmonic Series或Simple proof of showing the Harmonic number Hn=Θ(logn)，这很简单。