Question

考虑表达式E1 = foldl op acc l和E2 = foldr op acc l。

op，acc和/或l有哪些自然充分条件可以保证E1和E2的等效性？

一个简单的例子是，如果op是常数，那么两者都是等价的。

我很确定必须存在涉及op和/或l的有限性和/或acc的中立性的交换性和/或相关性的精确条件。

Answer 1

如果op是关联操作，acc是op的中性元素，而l是有限的，则它们是等效的。

确实，foldr的结果是

(l1 `op` (l2 `op` ... (ln `op` acc)))

而foldl的

(((acc `op` l1) `op` l2) `op` ... ln)

为了证明它们是平等的，只需简化acc并重新关联即可。

即使acc不是中性元素，但acc仍然满足较弱的条件

forall x,  acc `op` x = x `op` acc

然后，如果op是关联的且l是有限的，我们再次得到所需的等价。

为了证明这一点，我们可以利用这样一个事实：acc与所有事物进行通信，并将其从尾部位置“移动”到头部位置，利用相关性。 E.g。

(l1 `op` (l2 `op` acc))
=
(l1 `op` (acc `op` l2))
=
((l1 `op` acc) `op` l2)
=
((acc `op` l1) `op` l2)

在问题中提到了足够的条件op = const k，它是关联的，但没有中性元素。尽管如此，任何acc都会与所有内容进行通信，因此“常量op”情况是上述充分条件的一个子句。

假设op有一个中性元素acc，如果我们假设

foldr op acc [a,b,c] = foldl op acc [a,b,c]      -- (*)

我们派生

a `op` (b `op` c) = (a `op` b) `op` c

因此，如果(*)适用于所有a,b,c，那么op必须是关联的。那么相关性是必要且充分的（当存在中性元素时）。

如果l是无限的，foldl无论op,acc是什么，总是会发散。如果op对其第二个参数严格，foldr也会发散（即返回底部）。