另一个递归函数内的递归函数的复杂性

Question

我无法弄清楚这个练习的解决方案：

计算f（g（n））+ g（f（n））的复杂度，g和f定义如下：

int f(int x) {
 if (x<=1) return 2;
 int a = g(x) + 2*f(x/2);
 return 1+ x + 2*a;
}

int g(int x) {
int b=0;
 if (x<=1) return 5;
     for (int i=1, i<=x*x;i++)
         b+=i;
 return b + g(x-1);
}

任何人都可以解释我如何找到解决方案吗？

Answer 1

解决此问题有两个单独的步骤。首先，我们必须查看每个函数的 time 复杂性，然后查看输出复杂性。

时间复杂度

由于g是自包含的，因此请先查看它。

g中完成的工作包括：

• x^2执行循环
• 使用参数x - 1
的递归调用

因此可以将时间复杂度递归关系写为（使用大写将其与原始函数区分开来）

要解决它，反复自我替代以给出总和。这是从6到x的自然数的平方和：

在最后一步中，我们使用了标准结果。因此，a是常数：

  

接下来，f：

• 拨打g(x)
• 使用参数x / 2
进行一次递归调用
• 一些不断的工作量

使用类似的方法：

应用停止条件：

因此：

由于指数期限2^(-x^3)消失了：

  

输出复杂性

这与上面的过程基本相同，递归关系略有不同。我将跳过细节并仅说明结果（使用小写输出函数）：

因此f(g(n)) + g(f(n))的最终时间复杂度为：

  

     

哪个与您的来源给出的结果相符。