Question

问题在于：

给出一个以正整数n作为输入的算法，并计算可能的排序数关系下的n个对象＆lt;和=。例如，如果n = 3，则13种可能的排序如下：

a = b = c, 
a = b < c, 
a < b = c, 
a < b < c, 
a < c < b, 
a = c < b, 
b < a = c, 
b < a < c, 
b < c < a,
b = c < a, 
c < a = b, 
c < a < b, 
c < b < a.

您的算法应该在n。

中以时间多项式运行

我对此问题无效。你能找到解决这个动态规划问题的方法吗？

Answer 1

如果您只有＆lt;，则可以订购一组N尺寸N！不同的方式。

如果你重新加入=，那么你可以将集合的分区计算为不同数量的等价类 - 并乘以排序方式的数量。

例如，让我们做一组3号大小（就像你的例子）。我们可以有1,2或3个等价类。只有一种方法可以有1个等价类，3种方法有2个等价类，1种方法有3个等价类（后面有关如何计算这些等等）。这给了1 * 1！ + 3 * 2！ + 1 * 3！ =总排名13。

这将原始问题分解为更简单的问题：计算将集合划分为k个部分的方法。如果您编写函数S（N，k）来执行此操作，则可以通过计算得到原始问题的答案：

sum(k! * S(N, k) for k in 1, 2, ..., N).

您可以使用这些重复关系来计算分区（请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number_of_the_second_kind）：

S(N, k) = S(N - 1, k - 1) + k * S(N - 1, k)
S(N, 1) = 1
S(N, N) = 1

您可以使用动态编程来计算此功能。

Answer 2

The code

设f（n，k）是具有k个不等式关系（和（n - 1 - k）质量关系）的可能排序的数量。

很容易看出，f（n，0）= 1，f（n，n-1）= n！任何n。

现在我们要为任何k计算f（n，k）。想象一下，你移走了一个数字（任意），所以现在有（n-1）个数字。有两种可能性：

1）那些（n-1）个数中存在（k-1）个不等式，并且有（k + 1）（f（n-1，k-1）个）方法来添加第n个数，所以新的不平等增加了。

2）那些（n-1）个数中存在k个不等式，并且存在（k + 1）（f（n-1，k））个方法添加第n个数字，没有额外的不等式。

所以，f（n，k）=（k + 1）（f（n-1，k-1）+ f（n-1，k））。

最终答案F（n）= f（n，0）+ f（n，1）+ ... + f（n，n-1）。

Answer 3

你可以有这个递归函数：

F(1) = 1;
F(2) = 3;


F(n) = F(n-1) * n + F(n-2) * n*(n-1)/2 + F(n-3) * n*(n-1)(n-2)/3!+.... + F(1) * n + 1;

例如

F(2) = 1 * 2 +1 = 3;
F(3) = F(2) * 3 + F(1) * 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13;

为什么？

认为你知道F(n-1)现在你想要在你的序列中插入An，An可以在序列中的0,1,2，... n位置，无论如何计算数字序列：

[A0,...An-1] < An this can be as  [A0,...An] < An-1,...

所以有n * f(n-1)个序列以<

结尾

how many sequences end with one `=` sign? f(n-2) * n * (n-1)/ 2 why? ... (think yourself it's easy)

how many sequences end with "K" "=" sing? f(n-k+1) * n * ...*(n-k+1)/ k!

并且有一个序列已满=

这可以简单地以多项式计算。

计算关系下的n个对象的可能排序数＆lt;和=

3 个答案: