计算受限制的整数分区数

Question

原始问题：

让 N 为正整数（实际上，N <= 2000）和 P - <的所有可能分区的集合strong> N ，其中包含和。让 A 为分区数。找到 A 。

输入： N 。输出： A - 分区数。

我尝试了什么：

我认为这个问题可以通过基于动态的算法来解决。设 p（n，a，b）为函数，仅使用数字 a 返回 n 的分数。 。 。的 B'/ strong>即可。然后我们可以使用以下代码计算 A ：

int Ans = 2; // the 1+1+...+1=N & N=N partitions
for(int a = 2; a <= N/2; a += 1){ //a - from 2 to N/2
    int b = a*2-1;
    Ans += p[N][a][b]; // add all partitions using a..b to Answer
    if(a < (a-1)*2-1){              // if a < previous b [ (a-1)*2-1 ]
        Ans -= p[N][a][(a-1)*2-1];  // then we counted number of partitions
    }                               // using numbers a..prev_b twice.
}

接下来，我试图找到计算任何整数a＆lt; = b＆lt; = n的 p（n，a，b）的动态算法。 This paper (.pdf)提供以下算法： ， I（n <= b） = 1，如果n＆lt; = b且= 0，则为

问题（S）：

1. 我应该如何从纸上实现算法？我是d-p问题的新手，我可以看到，这个问题有3个维度（n，a和b），这对我来说非常棘手。
2. 该算法的实际效果如何？我知道计算 p（n，0，b）或 p（n，a，n）的算法是如何工作的，但对 p的一点解释（ n，a，b）会非常有帮助。
3. 原始问题是否有更简单的解决方案？我很确定还有另一个干净的解决方案，但我没有找到它。

Answer 1

我用记忆方法（自上而下的动态编程）在23秒内计算了所有A（1）-A（600）。 3D表需要1.7 GB的内存 供参考：A[50] = 278, A(200)=465202, A(600)=38860513616

对于32位环境，N = 2000需要太大的表，并且映射方法工作得太慢。

我可以制作具有合理大小的2D表，但是这种方法需要在外部循环的每次迭代时进行表归零 - 再次变慢。 A(1000) = 107292471486730 in 131 sec。我认为较大的值可能需要较长的算术来避免Int64溢出。