Question

我正在努力找到这个问题的大O，而我在第三个嵌套循环时遇到了困难。这是代码

for (int i = 1 to n)
  for (int j = i to n)
    for (int k = j*j to n)
      //some constant operation

i forloop显然是O（n）。

j forloop是（n + n-1 + n-2 + ... + 2 + 1）=（n-1）n / 2 = O（n ^ 2）。

但我不确定如何考虑 k forloop。我知道一个完整的 j （1到n）循环，总和就像（n + n-4 + n-6 + ...）= sum_ {k = 1} ^ n （n - k ^ 2），但我不确定从那里去哪里。

关于如何进行的任何建议都会很棒！

Answer 1

当j大于sqrt（n）时，不会输入内部循环。当i大于sqrt（n）时也是如此，因为j从i开始。

因此，我们可以将完成的工作分为两种情况：

在i和/或j超过sqrt(n)的迭代中：k循环未输入，并且不难证明外部两个循环完成的时间复杂度是Theta（n ^ 2）。
在i和j都小于sqrt(n)的迭代中：前两个循环每次运行sqrt(n)次，最后一个循环运行到n因此，总迭代次数的上限为O(sqrt(n) * sqrt(n) * n) = O(n^2)。

在这两种情况下，上限是O（n ^ 2），第一种情况表明它也是下界。因此，总时间复杂度为Theta（n ^ 2）。