这个简单代码的时间复杂性

Question

在伪代码中：

j = 5;

while (j <= n) {

    j = j* j* j * j;
}

此代码的时间复杂度是多少？ 它比O（logn）短，是否有任何理由低于这个？

Answer 1

让我们跟踪代码的执行情况。假设我们从初始值j0开始：

0. j ← j0
1. j ← j0^4
2. j ← [j0^4]^4 = j0^(4^2)
3. j ← [j0^(4^2)]^4 = j0^(4^3)
4. j ← [j0^(4^3)]^4 = j0^(4^4)
...
m. j ← [j0^(4^(m-1))]^4 = j0^(4^m)

... m循环之后。

当值超过n时，循环终止：

j0^(4^m) > n
→m > log(4, log(j0, n))

因此时间复杂度为O(m) = O(log log n)。

Answer 2

我使用help from MathSE来了解如何解决这个问题。答案与@meowgoesthedog的答案相同，但我理解如下：

在每次迭代中，j的值将增加其自身的4 ^th 次幂。或者，我们可以从 n 一侧查看它，在每次迭代时 n 将减少4 ^th 根。因此，重现将如下：

  

T（n）= 1 + T（n ^1/4 ）

对于任何整数 k ，其中2 ^{4 k} + 1＆lt; = n＆lt; = 2 ^{4 k + 1} ，复发将成为：

  

T（n）= 1 + k

如果我们继续假设4 ^th 根将始终是一个整数。如果不是，那么在Big-O计算中将忽略+/- 1的常数将无关紧要。

现在，由于假设4 ^th root是一个整数，我们可以尝试解决以下等式：

n = 2 ^{4 k} ，

用等式产生k =（Log（Log（n）） - Log（2））/ Log（4）。

这意味着O（T（n））= O（Log（Log（n）））。