Question

我正在通过使用R命令学习特征值，cov的特征向量，我首先尝试使用2d矩阵，结果似乎正确：

x <- c(60, 35, 74, 30, 80)
y <- c(58, 40, 68, 40, 70)
m <- cbind(x, y)
cv <- cov(m)
eig <- eigen(cv)
det(cv %*% eig$vectors)   # 895.4
det(eig$values * diag(2) %*% eig$vectors)   # 895.4
cv %*% eig$vectors
#        [,1]       [,2]
# x -604.7476  0.6751113
# y -391.0320 -1.0440884
solve(eig$vectors, eig$values*diag(2)) 
#           [,1]       [,2]
# [1,] -604.7476 -0.6751113
# [2,]  391.0320 -1.0440884

然后，我尝试使用3d矩阵：

x <- c(60, 35, 74, 30, 80)
y <- c(58, 40, 68, 40, 70)
z <- c(25, 75, 50, 60, 50)
m <- cbind(x, y, z)
cv <- cov(m)
eig <- eigen(cv)
det(cv %*% eig$vectors)   # -178424.4
det(eig$values * diag(3) %*% eig$vectors)   # -178424.4
cv %*% eig$vectors
#        [,1]      [,2]        [,3]
# x -639.0223  78.10751  0.56623319
# y -416.7254  43.54886 -0.89605389
# z  389.0068 174.95930 -0.02974941
solve(eig$vectors, eig$values*diag(3))
#           [,1]       [,2]        [,3]
# [1,] -639.0223  -95.61750  0.48169216
# [2,]  340.4124   43.54886  0.94419557
# [3,]  457.2808 -166.03865 -0.02974941

我的问题是：为什么“cv％％eig $ vectors”和“solve（eig $ vectors，eig $ values diag（n））”得到2d矩阵相同的数字，但结果3d矩阵的对角线数字是否相同？

Answer 1

如果问题中的输出显示，即使在第二种情况下，

cv %% eig$vectors和solve(eig$vectors, eig$valuesdiag(n))也不相等。

第一个等于eig$vectors %*% diag(eig$values)，第二个等于t(eig$vectors) %*% diag(eig$values) - 请注意转置。

要查看此内容，请cv展开eig$vectors %*% diag(eig$values) %*% t(eig$vectors)并注意eig$vectors是正交的（因为cv是对称的），因此其转置等于其反转。

注意det（eig $ vectors）是1（它必须是1或-1，因为它是正交的），如果A和B是任何两个适形的矩阵，v是矢量，那么：

det（A％*％B）= det（A）* det（B）
det（t（A））= det（A）
det（diag（v））= prod（v）

所以我们有：

det(cv %*% eig$vectors)
= det(eig$vectors %*% diag(eig$values) %*% t(eig$vectors) %*% eig$vectors)
= det(eig$vectors) * det(diag(eig$values)) * det(t(eig$vectors)) * det(eig$vectors)
= 1 * prod(eig$values) * 1 * 1
= prod(eig$values)

det(eig$values * diag(2) %*% eig$vectors)
= det(diag(eig$values) %*% eig$vectors)
= det(diag(eig$values)) * det(eig$vectors)
= prod(eig$values) * 1  
= prod(eig$values)

为什么求解（特征值，特征向量）的cov对于2d和3d矩阵是不同的？

1 个答案: