Question

我想在使用精简的拓扑中做一些工作。

作为一个良好的开端，我想证明一些关于sets in lean的简单引理。

例如

def inter_to_union (H : a ∈ set.inter A B) : a ∈ set.union A B :=
    sorry

或

def set_deMorgan : a ∈ set.inter A B → a ∈ set.compl (set.union (set.compl A) (set.compl B)) :=
sorry

或者，或许更有趣的是

def set_deMorgan2 : set.inter A B = set.compl (set.union (set.compl A) (set.compl B)) :=
sorry

但我无法找到set.union或set.inter的任何消除规则，因此我不知道如何使用它们。

如何证明引理？

另外，看definition of sets in lean，我可以看到一些语法，看起来非常像纸质数学，但我不了解依赖类型理论的水平，例如：

protected def sep (p : α → Prop) (s : set α) : set α :=
{a | a ∈ s ∧ p a}

如何将上述示例分解为简单的依赖/归纳类型概念？

Answer 1

该模块识别具有某种类型α的谓词的集合（α通常称为“宇宙”）：

def set (α : Type u) := α → Prop

如果您有一组s : set α而某些x : α可以证明s a，则会将其解释为＆x; x属于s＆＃39;。

在这种情况下，x ∈ A是set.mem x A的符号（我们暂不考虑现在的类型类），其定义如下：

protected def mem (a : α) (s : set α) :=
s a

以上解释了为什么空集表示为始终返回false的<= p>的谓词

instance : has_emptyc (set α) :=
⟨λ a, false⟩

而且，宇宙的表现并不令人惊讶：

def univ : set α :=
λ a, true

我将展示如何证明第一个引理：

def inter_to_union {α : Type} {A B : set α} {a : α} : A ∩ B ⊆ A ∪ B :=
  assume (x : α) (xinAB : x ∈ A ∩ B),        -- unfold the definition of `subset`
  have xinA : x ∈ A, from and.left xinAB,
  @or.inl _ (x ∈ B) xinA

这就像通常的＆＃34;有点＆＃34;基本集理论中这些属性的证明。

关于sep的问题 - 你可以看到这样的符号：

set_option pp.notation false
#print set.sep

这是输出：

protected def set.sep : Π {α : Type u}, (α → Prop) → set α → set α :=
λ {α : Type u} (p : α → Prop) (s : set α),
  set_of (λ (a : α), and (has_mem.mem a s) (p a))

在精益

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