包括边界点在内的所有采样点的非符号导数

Question

假设我有一个向量t = [0 0.1 0.9 1 1.4]和一个向量x = [1 3 5 2 3]。如何根据与原始向量长度相同的时间计算x的导数？

我不应该使用任何符号操作。命令diff(x)./diff(t)不会生成相同长度的向量。我应该先插入x(t)函数然后取其衍生物吗？

Answer 1

存在不同的方法来计算与初始数据相同点的导数：

1. 有限差异：在您的内部点使用中央差异计划，在第一个/最后一个点使用前进/后退计划

或

1. 曲线拟合：在曲线中拟合曲线，计算此拟合函数的导数，并在与原始数据相同的点处对其进行采样。典型的拟合函数是多项式或样条函数。

请注意，曲线拟合方法可以提供更好的结果，但需要更多的调整选项，速度更慢（~100x）。

<强>示范

作为一个例子，我将计算正弦函数的导数：

t = 0:0.1:1;
y = sin(t);

它的确切衍生物是众所周知的：

dy_dt_exact = cos(t);

导数大致可以计算为：

1. 有限差异：

   dy_dt_approx = zeros(size(y));
   dy_dt_approx(1) = (y(2) - y(1))/(t(2) - t(1)); % forward difference
   dy_dt_approx(end) = (y(end) - y(end-1))/(t(end) - t(end-1)); % backward difference
   dy_dt_approx(2:end-1) = (y(3:end) - y(1:end-2))./(t(3:end) - t(1:end-2)); % central difference
   

或

1. 多项式拟合：

   p = polyfit(t,y,5); % fit fifth order polynomial
   dp = polyder(p); % calculate derivative of polynomial
   

结果可视化如下：

figure('Name', 'Derivative')
hold on
plot(t, dy_dt_exact, 'DisplayName', 'eyact');
plot(t, dy_dt_approx, 'DisplayName', 'finite difference');
plot(t, polyval(dp, t), 'DisplayName', 'polynomial');
legend show

figure('Name', 'Error')
hold on
plot(t, abs(dy_dt_approx - dy_dt_exact)/max(dy_dt_exact), 'DisplayName', 'finite difference');
plot(t, abs(polyval(dp, t) - dy_dt_exact)/max(dy_dt_exact), 'DisplayName', 'polynomial');
legend show



第一张图显示了衍生物本身，第二张图显示了两种方法产生的相对误差。

<强>讨论

人们清楚地看到曲线拟合方法比有限差分给出了更好的结果，但它慢了约100倍。曲线拟合方法具有阶10^-5的相对误差。请注意，当您的数据采样更密集或使用更高阶的方案时，有限差分方法会变得更好。曲线拟合方法的缺点是必须选择良好的多项式阶。样条函数通常可能更适合。

快10倍的采样数据集，即t = 0:0.01:1;，得到以下图表：